Springen naar inhoud

Isomorfismen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 november 2009 - 07:59

Een afbeelding g is een isomorfisme als en slechts als ze
- bijectief is
- lineair is

g:V :eusa_whistle: W
-dus uit de bijectiviteit volgt gf=id(v) als g de inverse is van f
-dus uit de bijectiviteit volgt fg=id(w) als g de inverse is van f

In het deeltje over de inverse van een matrix staat er:

gg-1=g-1g=id(v)

Nu vraag ik me af of dit algemeen geldig is voor isomorfismen?
Ik dacht van niet: enkel als het gaat om g:V ](*,) V , en binnen de context van de inverse van een matrix is dat aannemelijk (immers, enkel inverse mogelijk bij vierkante matrices).

Maar nu begon ik te twijfelen:
isomorfisme => bijectie => steeds inverse functie => steeds matrix van de inverse => steeds vierkante matrix => steeds g: V ;) V

Of toch niet?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 november 2009 - 09:54

g:V :eusa_whistle: W
-dus uit de bijectiviteit volgt gf=id(v) als g de inverse is van f
-dus uit de bijectiviteit volgt fg=id(w) als g de inverse is van f


Dit klopt niet.

g is gedefinieerd als een afbeelding die iets in V afbeeldt op iets in W, als f de inverse van g is, gaat die dus van W naar V gaan.

Jij zegt gf = id(V), maar gf betekent, g n f => g( f(x) ) Dus je begint in W, gaat met f naar V en dan met g terug naar W zodat gf = id(W)

Wat betreft dat stuk over matrices en ik weet niet waar je al zit in de cursus, maar op een gegeven moment wordt het verband tussen isomorfismen en reguliere matrices aangehaald.

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 november 2009 - 10:55

Nu zie ik het probleem!

Ik heb, om de oplossing op mijn vraag te vinden, twee elementen uit de cursus gecombineerd, maar ben daarbij uit het oog verloren dat de g zo dubbel gebruikt wordt:

bij het deeltje over bijecties werd g gedefinieerd als de inverse van f, verderop bij het deeltje van de inverse van een matrix, stond g voor een isomorfische afbeelding.

Ik post mijn probleem opnieuw, zonder dubbele notatie nu:

Een afbeelding f is een isomorfisme als en slechts als ze
- bijectief is
- lineair is

f:V :eusa_whistle: W
-dus uit de bijectiviteit volgt gf=id(v) als g de inverse is van f
-dus uit de bijectiviteit volgt fg=id(w) als g de inverse is van f

In het deeltje over de inverse van een matrix staat er:

ff-1=f-1f=id(v)

Nu vraag ik me af of dit algemeen geldig is voor isomorfismen?
Ik dacht van niet: enkel als het gaat om f:V ](*,) V , en binnen de context van de inverse van een matrix is dat aannemelijk (immers, enkel inverse mogelijk bij vierkante matrices).

Maar nu begon ik te twijfelen:
isomorfisme => bijectie => steeds inverse functie => steeds matrix van de inverse => steeds vierkante matrix => steeds f: V ;) V

Of toch niet?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 november 2009 - 12:52

f:V :eusa_whistle: W
-dus uit de bijectiviteit volgt gf=id(v) als g de inverse is van f
-dus uit de bijectiviteit volgt fg=id(w) als g de inverse is van f

In het deeltje over de inverse van een matrix staat er:

ff-1=f-1f=id(v)


Als je dit stuk even apart neemt en in dat bovenste deel in plaats van g gewoon f-1 schrijft zie je dat die afbeeldingen inderdaad alleen maar kunnen commuteren als V=W.

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 november 2009 - 21:29

Eigenlijk volstaat het dus om de bijectiviteit aan te halen en het argument te gebruiken dat als twee matrices commuteren volgens AB en BA, ze noodzakelijkerwijze vierkant zijn.

Aangezien elke matrix bij een afbeelding hoort, en we bovendien de definitie van inverse matrix en de definitie van isomorfisme toepassen, kunnen we besluiten dat bij een isomorfisme de aankomstruimte dezelfde is als de vertrekruimte (f: V -> V dus).

Dat is idd logisch. Ik vroeg me af of je dit ook kan besluiten uit de tweede dimensiestelling en de stelling van het alternatief? Ik dacht van wel?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 november 2009 - 22:38

Dat is idd logisch. Ik vroeg me af of je dit ook kan besluiten uit de tweede dimensiestelling en de stelling van het alternatief? Ik dacht van wel?



Het is niet omdat 2 vectorruimten dezelfde dimensie hebben dat ze ook dezelfde zijn. In het geval dat we hierboven hadden is het noodzakelijk dat V en W dezelfde vectorruimte zijn.

Je moet het niet altijd zo ver gaan zoeken. De 2 boeken zijn vrij goed opgebouwd en waar nodig wordt er wel verwezen naar eerdere stellingen/eigenschappen.

Over die commuterende matrices: als AB = BA dan is het inderdaad zo dat ze beide vierkant zijn.

Veranderd door Xenion, 21 november 2009 - 22:39


#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 november 2009 - 22:54

Bedankt!

Het is niet omdat 2 vectorruimten dezelfde dimensie hebben dat ze ook dezelfde zijn. In het geval dat we hierboven hadden is het noodzakelijk dat V en W dezelfde vectorruimte zijn.


Neen, maar zelfde dimensie + injectiviteit of surjectiviteit volstaan toch om bijectiviteit te kunnen aantonen?

En als de inverse bestaat, is de rang = n, dus is de dim(Im(f)) = n, en de dim (Ker)=0.

Is het dan nog steeds niet voldoende?

PS:

Je moet het niet altijd zo ver gaan zoeken.

Ik probeer de cursus gewoon te doorgronden.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 november 2009 - 19:07

Bedankt!

Neen, maar zelfde dimensie + injectiviteit of surjectiviteit volstaan toch om bijectiviteit te kunnen aantonen?

Ja. Maar ik begrijp niet helemaal wat je vraag nu eigenlijk is. Twee isomorfe vectorruimten hebben noodzakelijk dezelfde dimensie. Dat heb je hier ook al aangetoond.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 november 2009 - 00:15

Dat ze dezelfde dimensie hebben, is daar idd al aangetoond.

Maar hier was het op een andere manier gentroduceerd (via een oefening), en daardoor was er wat verwarring. Maar het verband is nu wel duidelijk!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 november 2009 - 23:04

Mooi! :eusa_whistle:
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures