Springen naar inhoud

[algebra] matrix bepalen t.o.v 2 basissen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

JohanB

    JohanB


  • >25 berichten
  • 60 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 november 2009 - 17:42

Hallo,

Ik probeer de volgende oefening op te lossen:

Beschouw vervolgens de R-lineaire afbeelding
LaTeX
Beschouw de volgende basissen E en F van LaTeX en LaTeX respectievelijk:
E={2,X-1, X≤-3X,X≥-4X≤}; F={1-X,2X≤+X+1,3X}. Bepaal de matrix [f]F,E van f t.o.v E en F

Ik bepaal dan het verband tussen de basis E en en de veelterm
LaTeX
Waarop ik dit stelsel oplost en dit bekomt
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Nu bepaal ik het verband tussen de basis E en de veelterm
LaTeX
Waarbij ik het volgende oplossing krijg
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Hoe moet ik die f tussen de 2 opgeloste stelsels nu bepalen?

alvast bedankt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 november 2009 - 17:49

Ik heb nu geen tijd om het uit te schrijven, maar in plaats van direct de matrix van f ten opzichte van die basissen te bepalen, is het misschien interessanter om de matrix van f te bepalen ten opzichte van de standaardbasissen en dan de overgangsformule te gebruiken (overgangsmatrix voor de basisverandering voor beide basissen, dan op de juiste manier vermenigvuldigen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 november 2009 - 22:30

Je kan dus ofwel bovenstaande methode volgen (de matrix van de lineaire afbeelding opstellen t.o.v. de standaardbasissen en vermenigvuldigen met de matrices voor de basisovergangen), ofwel de "directe methode".

Ik begrijp niet goed wat jij precies aan het doen bent, maar wat je wil is de beelden van de basisvectoren uit E, schrijven ten opzichte van de basis F. Het beeld van de i-de basisvector uit E, komt in de i-de kolom van je matrix.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

JohanB

    JohanB


  • >25 berichten
  • 60 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 november 2009 - 21:36

Hallo,

Eigenlijk zit ik nog vast, ik zal zeggen wat ik wel denk gevonden te hebben.
Ik heb de afbeelding bepaald die van standaardbasis van LaTeX ga.
f(a0+a1x+a2x≤+a3x≥)=a1+2a2x+3a3x≤+(1-x)(2a2+6a3x)
=a1+2a2+6a3x-3a3x≤
en de matrix wordt
LaTeX
Dan probeer ik het overgang tussen de 2 basissen(1,x,x≤,x≥) en (2,x-1,x≤-3x,x≥-4x≤) te vinden met volgende stelsel op te lossen:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Maar dan weet ik niet meer wat ik moet doen, ik weet zelf niet of ik goed bezig ben.
Wat bedoel je met de

"directe methode"

is deze gemakkelijker te gebruiken.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 november 2009 - 21:50

[quote name='JohanB' post='567632' date='23 November 2009, 21:36']en de matrix wordt
LaTeX

Die lineaire afbeelding kan je voorstellen door een 3x4-matrix. Hoe deze matrix eruit ziet, hangt af van de basissen die je kiest voor die twee ruimtes. Als je de standaardbasissen kiest A = {1,x,x≤,x≥} voor de bronruimte en B = {1,x,x≤} voor de aankomstruimte, dan krijg je de matrix die we hierboven al gevonden hebben.

Maar: in de opgave zijn andere basissen gegeven, E en F in plaats van de standaardbasissen A en B. Er zijn twee manieren om de matrix van de lineaire afbeelding f te vinden, ten opzichte van die basissen E en F:
- "directe methode": bepaald de beelden van de basisvectoren uit E en schrijf die in functie van de basis F, de coŲrdinaten van het beeld van de i-de basisvector uit E (geschreven t.o.v. F) schrijf je in de i-de kolom.
- de andere manier: bepaal de matrix van f ten opzichte van de standaardbasissen (die noemde ik A en B) en vermenigvuldig deze matrix met de gepaste overgangsmatrices die de basisovergang A->E en B->F geven (zie formule in cursus).

Bij de eerste methode heb je de uiteindelijk matrix onmiddellijk, maar het opstellen is meer werk (stelsels oplossen). Bij de tweede methode moet je meer matrices opstellen, maar wel eenvoudigere, en die uiteindelijk vermenigvuldigen.

Kijk maar eerst even of je dit allemaal goed begrijpt; stel anders vragen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

JohanB

    JohanB


  • >25 berichten
  • 60 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 november 2009 - 20:21

Ik heb de matrix bepaald t.o.v de standaard basis A en bekom de volgende matrix
LaTeX
dan de matrix bepaald volgens de basis E
LaTeX
daarna de matix t.o.v de basis B
LaTeX
tenslotte de matrix t.o.v de basis F
LaTeX

Om die overgang matrix te berekenen tussen A en E en tussen B en F
dacht ik de volgende formule te gebruiken
[f]F',E'=M^(-1) *[f]F,E*M
Maar het probleem is dat een 3*4 matrix niet inverteerbaar is.
Bestaat er een andere formule. Moet ik dan uiteindelijk de 2 matrix overgangen met elkaar vermenigvuldigen?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 november 2009 - 20:43

Je hebt denk ik wat werk te veel gedaan en je hebt het ook nog niet helemaal begrepen... De matrix van de lineaire afbeelding, is er een ten opzichte van twee basissen: een basis voor de vertrekruimte en een voor de aankomstruimte. De matrix die je als eerste schreef (en die ik ook al eerder gaf) is de matrix M van de lineaire afbeelding ten opzichte van de standaardbasissen voor beide ruimtes.

Om de matrix van de lineaire afbeelding ten opzichte van de gegeven basissen te vinden, moet je de matrices van basisovergang opstellen; die hebben met de lineaire afbeelding f niets te maken. Je moet dat doen voor de vertrekruimte (van A naar E) en voor de aankomstruimte (van B naar F). Deze twee moet je op gepaste wijze (een van beide geÔnverteerd) vermenigvuldigen met de M van hierboven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

JohanB

    JohanB


  • >25 berichten
  • 60 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 november 2009 - 22:16

Ik heb eerst de overgangsmatrix van A naar E bepaald en kom de volgende matrix uit

LaTeX
daarna de overgangsmatrix van B naar F bepaald
LaTeX
en volgend formule toegepast
K^(-1)*M*P
Waarbij ik de volgende matrix krijg
LaTeX

Ik weet niet of dit het juiste antwoord is?

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 november 2009 - 22:55

Dit ziet er al veel beter uit, goed Johan! Misschien een klein foutje in P, derde rij: moet dat niet 1 en -4 in plaats van -1 en 4 zijn?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

JohanB

    JohanB


  • >25 berichten
  • 60 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 november 2009 - 10:25

Inderdaad ik heb mij vergist in die tekens.
de juiste matrix die ik nu bekom is de volgende

LaTeX

Dank u dat je dat allemaal heb willen uitleggen. Nu begrijp ik het ook beter.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 november 2009 - 18:12

Lijkt mij helemaal juist, maar veel belangrijker dan al dan niet een rekenfoutje maken is dat je (hopelijk) begrijpt hoe dit nu werkt!

Graag gedaan, succes ermee.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures