interessante wiskundige problemen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 23-07-'05, 22:05

JVV

Berichten: 123

interessante wiskundige problemen

Een paar weken geleden was er een topic over favoriete stellingen. Wat mij, ik denk velen van jullie, ook erg interesseert zijn de nog onopgeloste problemen. Enkele vraagstukken die mij erg aanspreken zijn;

Perfecte getallen

Zijn er oneindig veel even perfecte getallen?

Verder blijft de grote vraag of er überhaupt oneven perfecte getallen bestaan.

Priemgetallen

Zijn er oneindig veel ‘Mersenne priemgetallen’?

Zijn er oneindig veel ‘tweeling-priemgetallen’?

Is het vermoeden van Goldbach waar?

Ik ben benieuwd welke wiskundige problemen/raadsels jullie interessant vinden. :shock:
"Simplicity does not come of itself but must be created."
Omhoog

Bericht 23-07-'05, 23:36

The Black Mathematician

Berichten: 150

Re: interessante wiskundige problemen

Ik geloof dat als je bewijst dat er oneindig veel mersenne priemgetallen bestaan, je ook meteen bewijst dat er oneindig veel perfecte getallen bestaan. Het zijn dus geen twee aparte vraagstukken.
Omhoog

Bericht 23-07-'05, 23:44

The Black Mathematician

Berichten: 150

Re: interessante wiskundige problemen

Het blijkt inderdaad bewezen te zijn dat als 2^(n+1)-1 priem is, 2^n*(2^(n+1)-1) een perfect getal te zijn. Dit is al door Euclides bewezen.

Dus als een getal een mersenne priemgetal is, is er dus ook een bijbehorend perfect getal.

Andersom hoeft niet te gelden, de andere kant gaat alleen op als er geen oneven perfecte getallen blijken te bestaan, maar dat heeft men ook nog niet bewezen.

Dus er is geen equivalentie tussen de beide stellingen, maar oneindig veel mersenne priemgetallen impliceert dus wel het bestaan van oneindig veel (even) perfecte getallen.

Persoonlijk vind ik het wel interessant als men de Riemann-hypothese kan bewijzen.
Omhoog

Bericht 23-07-'05, 23:54

JVV

Berichten: 123

Re: interessante wiskundige problemen

dat klopt. Het is bewezen dat die getallen een directe relatie met elkaar hebben. Elk even perfect getal is te schrijven als;

N = (2^(p) - 1)*(2^(p-1)) , waarbij (2^(p) - 1) is Mersenne priemgetal

Het aantal even perfecte getallen en M-priemgetallen zijn gelijk.
"Simplicity does not come of itself but must be created."
Omhoog

Bericht 23-07-'05, 23:58

JVV

Berichten: 123

Re: interessante wiskundige problemen

Persoonlijk vind ik het wel interessant als men de Riemann-hypothese kan bewijzen.


Ik meen ooit te hebben gelezen dat er een verband bestond tussen die hypothese en het vermoeden van Goldbach (elke even getal kan geschreven wordne als som van 2 priemgetallen). Weet jij toevalig hier meer over?
"Simplicity does not come of itself but must be created."
Omhoog

Bericht 24-07-'05, 02:35

The Black Mathematician

Berichten: 150

Re: interessante wiskundige problemen

Volgens mij is het enige verband dat er is dat in beide problemen priemgetallen een rol spelen en dat ze samen met het vermoeden van de tweelingpriemgetallen het achtste probleem van Hilbert vormen.

Al zou de Riemannhypothese misschien wel een grote rol kunnen gaan spelen in het bewijzen van het Goldbach vermoeden en het tweelingpriemgetalprobleem. De Riemannhypothese legt vrij scherp de verdeling van priemgetallen vast, maar wat er allemaal uit kan volgen weet ik niet. Wat ik wel weet is dat men al erg veel stellingen heeft bewezen onder het aannemen van de Riemannhypothese. (Er bestaan ook overigens erg veel bewezen stellingen onder de aanname dat de Riemannhypothese onjuist is).
Omhoog

Bericht 24-07-'05, 02:48

The Black Mathematician

Berichten: 150

Re: interessante wiskundige problemen

Er blijkt toch een soort verband te zijn.

Het oneven Goldbach vermoeden luidt dat elk oneven getal groter dan 5 geschreven kan worden als de som van 3 priemgetallen.

Het gewone Goldbach vermoeden impliceert het oneven Goldbach vermoeden (maar niet andersom!!!)

Het blijkt dat als je een gegeneraliseerde versie van de Riemannhypothese bewijst, je ook meteen het oneven Goldbach vermoeden bewijst.

Meer info: http://primes.utm.edu/glossary/page.php?so...dbachConjecture

Het zou best kunnen dat Goldbach ook uit Riemann volgt, maar daar heb ik geen zicht op. Wat ik hier allemaal roep is ook alleen maar van sites geplukt, ik heb er zelf nog nooit aan gewerkt, omdat het problemen zijn waar je wiskundetechnieken voor moet kennen die vaak alleen worden beheerst door echte specialisten in getaltheorie, en dus zeker niet door een student als ik.

Het is een punt dat getaltheorie zo boeiend maakt, je kan getaltheoretische vermoedens formuleren die door zowat iedereen begrepen kunnen worden, maar het is verschrikkelijk lastig om het te bewijzen.
Omhoog

Bericht 24-07-'05, 15:43

timwaagh

Gebruikersavatar
Berichten: 293

Re: interessante wiskundige problemen

ik vond dat probleempje uit de IMO interessant genoeg....en nee ik kon het niet oplossen (nuja als je de antwoorden onder klikbereik hebt wordt de verleiding wel snel erg groot...).
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”