Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Shari1985

Hoi hoi,

Ik heb hier in een handboek een gegeven parabool P :eusa_whistle: y²=5x en een gegeven punt A(-3,1) dat geen element is van P.

Nu geven ze twee methodes om dit op te lossen, en in de tweede methode beginnen ze als volgt:

Als R(x₁,y₁) een raakpunt is, dan is de vergelijking van de raaklijn in het punt R aan de parabool P

y₁y=5/2(x+x₁).

Hoe komen ze nu aan die rico?

bsfa

Ik weet niet of je differentieren hebt gehad, maar de richtingscoefficient is de afgeleide van de kromme.

Voor de functie y=x² (zo'n rechtopstaande parabool) wordt voor elk punt op de parabool de richtingscoefficient gegeven door de vergelijking rc=2x. Ga maar na voor x=0, dan is de rc ook nul.

Als je jouw paraboolfunctie differentieert heb je een formule voor de richtingscoefficient van elke punt van de parabool.

Een richtingscoefficient kun je ook berekenen door het verschil in y te delen door het verschil in de x-richting. Dat moet je doen voor je punt A en een punt (x', y') op de parabool. Voor die richtingscoefficient moet gelden dat die gelijk is aan de raaklijn op het punt (x', y'). Twee vergelijkingen, twee onbekenden. Succes!

Bert

Klintersaas

Dat is gewoon een formule. De vergelijking van een raaklijn in een punt

\(P(x_1,y_1)\)

van een parabool met vergelijking

\(y^2 = 2px\)

wordt gegeven door:

\(y_1y=p(x+x_1)\)

Je kunt die formule ook zelf afleiden uit eerdere formules over parabolen en raaklijnen.

Shari1985

Okee, dat snap ik allemaal, maar ik snap niet hoe ze hier met de gegeven parabool en punt niet gelegen op de parabool aan de rico 5/2 komen?

Wanneer ik de afgeleide neem van y²=5x dan krijg ik

\(f'(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x}}\)

en

\(f'(x)=-\frac{5}{2\sqrt{5x}}\)

. Om aan een vast getal 5/2 te komen moet ik toch nog een coördinaat hebben? Maar die wordt helemaal niet gegeven.

Een richtingscoefficient kun je ook berekenen door het verschil in y te delen door het verschil in de x-richting. Dat moet je doen voor je punt A en een punt (x', y') op de parabool. Voor die richtingscoefficient moet gelden dat die gelijk is aan de raaklijn op het punt (x', y'). Twee vergelijkingen, twee onbekenden. Succes!

Deze methode heb ik uitgewerkt en die snap ik volledig. Maar dan bekom ik dus twee verschillende rico's (wat de bedoeling is) terwijl er hier direkt vertrokken wordt van een basis rico. Wanneer we op het einde twee gevonden raakpunten invullen dan bekomen we de twee vergelijkingen van de twee verschillende raaklijnen. Maar ik zit dus al vast bij hoe ze aan die 5/2 komen...

Safe

Vooralsnog ken je R(x1,y1) niet.

Maar er zijn twee voorwaarden:

1. R ligt op de parabool

2. de raaklijn moet door A gaan.

Waar voldoen (x1, y1) dan aan?

Opm: je hebt het over een rico 5/2 maar dat is niet de rico van de lijn.

Shari1985

Safe schreef:Vooralsnog ken je R(x1,y1) niet.

Maar er zijn twee voorwaarden:

1. R ligt op de parabool

2. de raaklijn moet door A gaan.

Waar voldoen (x1, y1) dan aan?

Opm: je hebt het over een rico 5/2 maar dat is niet de rico van de lijn.

Nee, dat is inderdaad niet de rico van de lijn. Pas als je de twee raakpunten invult en oplost krijg je de vergelijkingen van de raaklijnen en dus ook de rico's. Maar ik zie nog steeds niet waar die 5/2 vandaan komt... Het is EEN rico, maar welke? De handboek geeft dus uitgewerkte voorbeelden maar deze stap zetten ze niet. Het moet iets logisch zijn maar ik zie het niet.

y1²=5x1²

1-y1=m(-3-x1)

En dan kan ik hiervan een stelselvergelijking maken. Maar zoals ik al eerder zei heb ik dit al met een stelselvergelijking opgelost (hoewel ik dan de rechte a door het punt A(-3,1) ofwel (x1,y1) invulde en y²=5x).

Het probleem is dat ik aan het twééde gegeven voorbeeld van dezelfde functie en hetzelfde punt maar met een andere uitwerking niet aan uit kan.

Wat is die 5/2. Want hoe ik het ook draai of keer, ik kom er niet op.

Safe

Begrijp ik nu, dat je dit probleem hebt opgelost? Of dat het anderszins is opgelost?

En je vraag is niet beantwoord? Vreemd.

Is de gevolgde werkwijze misschien niet duidelijk?

Je hebt het over een soortgelijk probleem, welk?

Shari1985

Safe schreef:Begrijp ik nu, dat je dit probleem hebt opgelost? Of dat het anderszins is opgelost?

En je vraag is niet beantwoord? Vreemd.

Is de gevolgde werkwijze misschien niet duidelijk?

Je hebt het over een soortgelijk probleem, welk?

In het boek wordt dit probleem gegeven met twee uitwerkingsoplossingen. Bij de eerste worden de twee rico's gezocht met een stelselvergelijking, bij de tweede worden de raakpunten gezocht dmv een stelselvergelijking.

Bij het begin van de uitleg van de tweede uitwerking gaan ze er echter direkt van uit dat de vergelijking van de raaklijn in het punt R(x1,y1) aan de parabool gelijk is aan y1.y=5/2(x+x1). De rest van de uitwerking begrijp ik, dat wordt immers gedaan zoals ik in vorig antwoord ingevuld heb. Maar ik snap dus niet waar die 5/2 vandaan komt, en die is wel nodig voor de rest van de vergelijking op te lossen.

Safe

In het boek wordt dit probleem gegeven met twee uitwerkingsoplossingen. Bij de eerste worden de twee rico's gezocht met een stelselvergelijking, bij de tweede worden de raakpunten gezocht dmv een stelselvergelijking.

Dit lijkt hetzelfde voor de twee vb.

Bij het begin van de uitleg van de tweede uitwerking gaan ze er echter direkt van uit dat de vergelijking van de raaklijn in het punt R(x1,y1) aan de parabool gelijk is aan y1.y=5/2(x+x1). De rest van de uitwerking begrijp ik, dat wordt immers gedaan zoals ik in vorig antwoord ingevuld heb. Maar ik snap dus niet waar die 5/2 vandaan komt, en die is wel nodig voor de rest van de vergelijking op te lossen.

Dit is uitgelegd, zie klintersaas bericht #3.

Shari1985

Klintersaas schreef:Dat is gewoon een formule. De vergelijking van een raaklijn in een punt
\(P(x_1,y_1)\)
van een parabool met vergelijking
\(y^2 = 2px\)
wordt gegeven door:

\(y_1y=p(x+x_1)\)
Je kunt die formule ook zelf afleiden uit eerdere formules over parabolen en raaklijnen.

Ah, dat is de PARAMETER!

Dank u wel...

Safe

Een aardige opdracht:

De lijn: y=5/2(x-3) snijden met y²=5x.

Verrast door de gevonden punten?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool

Re: Raaklijnen uit een punt aan een parabool