Springen naar inhoud

Inwendig product in euclidische ruimte


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 november 2009 - 21:05

Gevolg 6.2.6 Onderstel dat E een n-dimensionale Euclidische ruimte is. Dan bestaat er een isomorfisme
f : E -> Rn die het inwendig product in E omzet in het standaardinwendig product op
Rn.
Bewijs. Neem een orthonormale basis van E, en neem voor f de afbeelding die een vector afbeeldt
op de co÷rdinaten tenopzichte van deze orthonormale basis.


Ik vraag me af wat deze stelling nu net inhoudt. Dat een willekeurig inwendig product wordt omgezet in het standaard inwendig product? Wat is de reikwijdte van deze stelling?

Bovendien: waar wordt er bewezen dat het om een isomorfisme gaat? (Ik denk dat dat zo is omdat het een co÷rdinaatafbeelding is, en co÷rdinaten zijn uniek bepaald, maar zeker ben ik niet).


Kan iemand hier wat meer over vertellen? Dank bij voorbaat!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 november 2009 - 21:13

Ik vraag me af wat deze stelling nu net inhoudt. Dat een willekeurig inwendig product wordt omgezet in het standaard inwendig product? Wat is de reikwijdte van deze stelling?

Wat bedoel je met "reikwijdte"?

Bovendien: waar wordt er bewezen dat het om een isomorfisme gaat? (Ik denk dat dat zo is omdat het een co÷rdinaatafbeelding is, en co÷rdinaten zijn uniek bepaald, maar zeker ben ik niet).

Dat klopt, de co÷rdinaten ten opzichte van een basis van een vectorruimte, zijn uniek.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 november 2009 - 22:11

Wat bedoel je met "reikwijdte"?


Dat klopt, de co÷rdinaten ten opzichte van een basis van een vectorruimte, zijn uniek.

Bedankt!

Reikwijdte: ik kan mij de onmiddellijke gevolgen van de stelling niet indenken, het blijft wat abstract voor me.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 november 2009 - 22:29

Je hebt eerder al gezien dat elke n-dimensionale vectorruimte (hoe "exotisch" ook) isomorf is met Rn en daardoor kunnen we elk element uit een willekeurige vectorruimte ook steeds identificeren met zijn (unieke) co÷rdinaten ten opzichte van een basis (bv. de standaardbasis) in Rn, via het isomorfisme.

Daarna heb je inwendige producten ingevoerd en vectorruimtes voorzien van zo een inwendig product. Ook hier kunnen die zo exotisch zijn als je wil, je kan via een isomorfisme steeds naar Rn en daar met het standaard inwendig product werken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 november 2009 - 22:56

Begrepen!
Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 november 2009 - 23:00

Het is overigens niet zo dat alle stellingen die je bewijst, ook een duidelijk nut zouden hebben :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures