Gevolg 6.2.6 Onderstel dat E een n-dimensionale Euclidische ruimte is. Dan bestaat er een isomorfisme
f : E -> Rn die het inwendig product in E omzet in het standaardinwendig product op
Rn.
Bewijs. Neem een orthonormale basis van E, en neem voor f de afbeelding die een vector afbeeldt
op de coördinaten tenopzichte van deze orthonormale basis.
Ik vraag me af wat deze stelling nu net inhoudt. Dat een willekeurig inwendig product wordt omgezet in het standaard inwendig product? Wat is de reikwijdte van deze stelling?
Bovendien: waar wordt er bewezen dat het om een isomorfisme gaat? (Ik denk dat dat zo is omdat het een coördinaatafbeelding is, en coördinaten zijn uniek bepaald, maar zeker ben ik niet).
Kan iemand hier wat meer over vertellen? Dank bij voorbaat!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Ik vraag me af wat deze stelling nu net inhoudt. Dat een willekeurig inwendig product wordt omgezet in het standaard inwendig product? Wat is de reikwijdte van deze stelling?
Wat bedoel je met "reikwijdte"?
Bovendien: waar wordt er bewezen dat het om een isomorfisme gaat? (Ik denk dat dat zo is omdat het een coördinaatafbeelding is, en coördinaten zijn uniek bepaald, maar zeker ben ik niet).
Dat klopt, de coördinaten ten opzichte van een basis van een vectorruimte, zijn uniek.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Je hebt eerder al gezien dat elke n-dimensionale vectorruimte (hoe "exotisch" ook) isomorf is met Rn en daardoor kunnen we elk element uit een willekeurige vectorruimte ook steeds identificeren met zijn (unieke) coördinaten ten opzichte van een basis (bv. de standaardbasis) in Rn, via het isomorfisme.
Daarna heb je inwendige producten ingevoerd en vectorruimtes voorzien van zo een inwendig product. Ook hier kunnen die zo exotisch zijn als je wil, je kan via een isomorfisme steeds naar Rn en daar met het standaard inwendig product werken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
