Limiet

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 758

Limiet

Bij de volgende limiet loop ik een beetje vast:
\( \lim \frac{(1+x)^p-1}{(1+2x)^q-1} \)
(met x --> 0)

Ik heb geprobeerd om te zetten naar taylorreeksen (dan speel je de -1 weg) maar dan kom je nog niet erg ver.

Verder : omschrijven naar e^ln biedt ook weinig soelaas, iemand een idee?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Ik heb geprobeerd om te zetten naar taylorreeksen (dan speel je de -1 weg) maar dan kom je nog niet erg ver.
Volgens mij ben je er dan al, gewoon een eerste orde Taylor... Laat eens zien wat je had.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet

Weet je iets van p en q.
\((1+x)^p=1+{p\choose 1}x+{p\choose 2}x^2+...+{p\choose p}x^p\)

Berichten: 758

Re: Limiet

merci,

maar voor (1+2x)^q ontwikkelen levert:

1 + 2 * (q\1)*x + 4 * (q\2)*x^2 + .......

dat wordt dus uiteindelijk :

(p\1)x + (p\2)x^2 + ...... + (p\p)x^p / 2 * (q\1) x + 4 * (q\2)*x^2 + ...... 2^^p *(q\q) *x^p

in de noemer bevindt zich dus een extra term : 2^p (met p = {0,1,2.....}

Berichten: 7.068

Re: Limiet

iemand een idee?
klik me

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet

Nog eens de vraag: weet je iets van p en q?

Kennelijk dus natuurlijke getallen.

Onderscheid:

p<q

p=q

p>q

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet

x -> 0, dus het onderscheid is niet nodig, wel moeten p en q >= 1 zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Eenvoudig met de eerste orde Taylor, voor x naar 0:
\({\left( {1 + ax} \right)^b} \approx 1 + abx\)
Het antwoord volgt dan onmiddellijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Limiet

klopt, met l'hopital is het redelijk eenvoudig ! dank nogmaals

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Met de benadering die ik hierboven gaf, volgt direct:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^p} - 1}}{{{{\left( {1 + 2x} \right)}^q} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + px - 1}}{{1 + 2qx - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{px}}{{2qx}} = \frac{p}{{2q}}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer