Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 758
Bij de volgende limiet loop ik een beetje vast:
\( \lim \frac{(1+x)^p-1}{(1+2x)^q-1} \)
(met x --> 0)
Ik heb geprobeerd om te zetten naar taylorreeksen (dan speel je de -1 weg) maar dan kom je nog niet erg ver.
Verder : omschrijven naar e^ln biedt ook weinig soelaas, iemand een idee?
Bericht
25-11-'09, 22:35
TD
-
- Berichten: 24.578
Ik heb geprobeerd om te zetten naar taylorreeksen (dan speel je de -1 weg) maar dan kom je nog niet erg ver.
Volgens mij ben je er dan al, gewoon een eerste orde Taylor... Laat eens zien wat je had.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Weet je iets van p en q.
\((1+x)^p=1+{p\choose 1}x+{p\choose 2}x^2+...+{p\choose p}x^p\)
-
- Berichten: 758
merci,
maar voor (1+2x)^q ontwikkelen levert:
1 + 2 * (q\1)*x + 4 * (q\2)*x^2 + .......
dat wordt dus uiteindelijk :
(p\1)x + (p\2)x^2 + ...... + (p\p)x^p / 2 * (q\1) x + 4 * (q\2)*x^2 + ...... 2^^p *(q\q) *x^p
in de noemer bevindt zich dus een extra term : 2^p (met p = {0,1,2.....}
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Nog eens de vraag: weet je iets van p en q?
Kennelijk dus natuurlijke getallen.
Onderscheid:
p<q
p=q
p>q
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
x -> 0, dus het onderscheid is niet nodig, wel moeten p en q >= 1 zijn.
Bericht
26-11-'09, 11:07
TD
-
- Berichten: 24.578
Eenvoudig met de eerste orde Taylor, voor x naar 0:
\({\left( {1 + ax} \right)^b} \approx 1 + abx\)
Het antwoord volgt dan onmiddellijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 758
klopt, met l'hopital is het redelijk eenvoudig ! dank nogmaals
Bericht
26-11-'09, 17:26
TD
-
- Berichten: 24.578
Met de benadering die ik hierboven gaf, volgt direct:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^p} - 1}}{{{{\left( {1 + 2x} \right)}^q} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + px - 1}}{{1 + 2qx - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{px}}{{2qx}} = \frac{p}{{2q}}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)