Moderators: ArcherBarry , Fuzzwood
Berichten: 393
Goeiedag,
Ik heb problemen met de volgende limiet:
\(\lim_{x \to \pm \infty} \sqrt[3]{x^{3} + x²}-x\)
Het probleem is dat je hier met een oneindig - oneindig geval zit. In onze cursus gaat men er direct van uit dat de oplossing 1/3 is, zonder de oplossingmethode aan te tonen. Dus, hoe moet ik hier aan deze oplossing geraken?
Alvast bedankt.
Pluimdrager
Berichten: 10.058
Wat heb je zelf bedacht?
Berichten: 150
Moet het wel
\( \frac{1}{3} \)
zijn? Zelf kom ik op 1 uit.
Verborgen inhoud \(\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt[3]{x^3 +x^2} -x = \lim_{x\rightarrow \infty} \exp\left\{\frac{1}{3}\ln\left( \frac{x^3+x^2}{x^3} \right) \right\} = \exp\left\{\frac{1}{3}\lim_{x\rightarrow \infty}\ln\left( 1 + \frac{1}{x}\right) \right\} = e^0 = 1\)
Pluimdrager
Berichten: 10.058
Bericht
ma 30 nov 2009, 17:44 30-11-'09, 17:44
TD
Berichten: 24.578
ametim schreef: Moet het wel
\( \frac{1}{3} \)
zijn? Zelf kom ik op 1 uit.
Verborgen inhoud \(\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt[3]{x^3 +x^2} -x = \lim_{x\rightarrow \infty} \exp\left\{\frac{1}{3}\ln\left( \frac{x^3+x^2}{x^3} \right) \right\} = \exp\left\{\frac{1}{3}\lim_{x\rightarrow \infty}\ln\left( 1 + \frac{1}{x}\right) \right\} = e^0 = 1\)
Pas op: ln(a/b) = ln(a)-ln(b), maar wat jij doet...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 393
Helaas is de methode van ametim er één die wij niet kennen.
Bericht
ma 30 nov 2009, 19:03 30-11-'09, 19:03
TD
Berichten: 24.578
Wat heb je genomen als uitdrukking om teller en noemer mee te vermenigvuldigen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 393
Ik probeer het als volgt:
\(\lim_{x \to \pm \infty} \sqrt[3]{x^{3} + x²}-x\)
=
\(\lim_{x \to \pm \infty} (\frac {\sqrt[3]{x^{3} + x²}-x) (\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x) (\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x)}{(\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x) (\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x)}}\)
=
\(\lim_{x \to \pm \infty} (\frac {x³+x²-x³}{\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x) (\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x)}\)
Uiteindelijk kom ik dan 0.25 uit, en niet 1/3
Bericht
ma 30 nov 2009, 19:19 30-11-'09, 19:19
TD
Berichten: 24.578
Hoe kom je erbij dat de teller zich vereenvoudigt tot die uitdrukking...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 214
JeanJean schreef: Ik probeer het als volgt:
\(\lim_{x \to \pm \infty} \sqrt[3]{x^{3} + x²}-x\)
=
\(\lim_{x \to \pm \infty} (\frac {\sqrt[3]{x^{3} + x²}-x) (\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x) (\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x)}{(\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x) (\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x)}}\)
=
\(\lim_{x \to \pm \infty} (\frac {x³+x²-x³}{\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x) (\sqrt[3]{x^{3} + x²}+x)}\)
Uiteindelijk kom ik dan 0.25 uit, en niet 1/3
Probeer eens gebruik te maken van het volgende:
\(a^3 -b^3 = (a-b)(a^2 +ab + b^2) \)
.
Nadat je met het juiste vermenigvuldigt hebt, zal je nog teller en noemer moeten delen door iets.
Dit maakt het een stuk eenvoudiger, vind ik.
Cogito ergo sum.
Berichten: 393
Hoe kom je erbij dat de teller zich vereenvoudigt tot die uitdrukking...?
't is een derdemachtswortel? Dus als je twee maal vermenigvuldigt met z'n 'toegevoegde', heb je die wortel toch kwijt?
en met dat a³-b³ trucje zie ik het ook niet... :eusa_whistle:
Maar ik snap wel de bedoeling.
\(\lim_{x \to \pm \infty} \sqrt[3]{x^{3} + x²}-x\)
=
\(\lim_{x \to \pm \infty} \frac {(\sqrt[3]{x^{3} + x²}-x)((x^{3}+x²)² + (x³ + x²)x + x²)}{((x^{3}+x²)² + (x³ + x²)x + x²)}\)
Berichten: 214
JeanJean schreef: 't is een derdemachtswortel? Dus als je twee maal vermenigvuldigt met z'n 'toegevoegde', heb je die wortel toch kwijt?
stel:
\(a = \sqrt^3 {x^3+x^2}\)
en
\( b = x\)
Vul nu in in :
\(a^3 -b^3 = (a-b)(a^2 +ab + b^2) \)
Maar ik snap wel de bedoeling.
Wat je daar schrijft is niet correct,
\( a^2 \neq (x^{3}+x²)² \)
en je moet als je de teller met iets vermenigvuldigt, ook de noemer met iets vermenigvuldigen!!
Cogito ergo sum.
Bericht
ma 30 nov 2009, 19:39 30-11-'09, 19:39
TD
Berichten: 24.578
't is een derdemachtswortel? Dus als je twee maal vermenigvuldigt met z'n 'toegevoegde', heb je die wortel toch kwijt?
Nee, dat werkt helaas niet... Schrijf het maar eens uit! Verder, gebruik het aangehaalde merkwaardig product om een gepaste factor te vinden waar je teller en noemer mee vermenigvuldigt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 393
Beste overdruk, als ik doe wat jij zegt voor a en b dan heb ik het volgende:
\(\lim_{x \to \pm \infty} {(\sqrt[3]{x^{3} + x²}-x) (\sqrt[3]{(x^{3} + x²)²}+x\sqrt[3]{(x^{3} + x²)}+x²)}\)
dus dit is gelijk aan x³ + x² - x³ .... dus het gaat weeral mis bij mij. Moet ik met dat laatste groot stuk tussen haakjes nog eens in de noemer plaatsen? Maar dat lijkt me ook niet te kloppen...
edit: gevonden! dat stuk moest idd nog eens in noemer. Bedankt voor de hulp en geduld!
Berichten: 214
Geen probleem :eusa_whistle:
Cogito ergo sum.
