Springen naar inhoud

Wortel van en delen door een vector


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 december 2009 - 18:50

Ik ben een samenvatting over de relativiteitstheorie aan het maken. Objecten verkleinen wanneer ze de snelheid van het licht benaderen, maar enkel in de richting van de snelheid. Nu wil ik dit uitdrukken aan de hand van een vector. Deze vector stelt een kubus voor die dus bijgevolg de lengte, breedtte en hoogte bevat. Ik noteer deze als:
LaTeX
De snelheid van object is gelijk aan:
LaTeX
De formule zegt dat:
LaTeX
Volgens mij betekent dit dus dat:
LaTeX
Mijn vraag is of je dit niet gewoon met vectoren kan schrijven, met andere woorden geldt:
1.
LaTeX
2.
LaTeX
3. Bestaat er een operator (ik gebruik hier een kruisproduct, maar dat gaat natuurlijk niet op):
LaTeX
Zodat men kan schrijven:
LaTeX

Veranderd door Vladimir Lenin, 01 december 2009 - 18:52

"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 01 december 2009 - 20:45

Mijn vraag is of je dit niet gewoon met vectoren kan schrijven, met andere woorden geldt:
1.
LaTeX


2.
LaTeX

Beide zijn niet gedefinieerd.
Twee vectoren kun slechts je op elkaar delen als de één een skalar maal de andere is.
Als je een wortel(uitdrukking van een vector) hebt, dan heb je het altijd over de grootte van de vector.

Veranderd door thermo1945, 01 december 2009 - 20:49


#3

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2009 - 01:40

Dat dacht ik ook, is dat niet een beetje inconsistent van de wiskunde?
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

#4

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2009 - 13:30

Voor een helder antwoord, moet de vraag scherper gesteld worden:

Van welke vector-vermenigvuldiging * ga je uit?


Zodra je die knoop doorgehakt hebt, kan je je afvragen voor welke vectoren LaTeX en LaTeX de vergelijking LaTeX voor LaTeX een interessante oplossingsverzameling geeft. Als dat voor veel interessante combinaties van LaTeX en LaTeX het geval is (en je kan bovendien voor veel van dergelijke combinaties van LaTeX en LaTeX een representatieve vector LaTeX uit deze oplossingsverzameling aanwijzen), dan kan het zin hebben deze vector LaTeX als het "quotiënt" LaTeX te definiëren.

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2009 - 14:14

Dat dacht ik ook, is dat niet een beetje inconsistent van de wiskunde?


Nee.
Delen en worteltrekken zijn geen standaard bewerkingen op vectoren. Als je ze op jouw manier definieert is daar niets mis mee. Verwarring is uitgesloten, daar de definities voor een 1-dimensionale vector overeenkomt met de gebruikelijke definities voor deze operatoren.

#6

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2009 - 18:21

precies, eigenlijk heb ik nog een vraag die me al een tijdje bezighoud, zou je niet kunnen stellen dat elke scalar een vector is met één element, en een vector een matrix is met één rij, en een matrix een supermatrix (3D-matrix) is met 1 diepte, enz... M.a.w. gaat de scheiding tussen scalar en vector wel op. Want eerlijk gezegd vind ik niet dat dit opgaat.
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

#7

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2009 - 18:34

precies, eigenlijk heb ik nog een vraag die me al een tijdje bezighoud, zou je niet kunnen stellen dat elke scalar een vector is met één element, en een vector een matrix is met één rij, en een matrix een supermatrix (3D-matrix) is met 1 diepte, enz... M.a.w. gaat de scheiding tussen scalar en vector wel op. Want eerlijk gezegd vind ik niet dat dit opgaat.


Je kan het begrip wel steeds verder generaliseren, maar daarmee is niet gezegd dat de zelfde rekenregels blijven gelden. Dat zal je bij elke stap moeten nagaan.

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2009 - 19:46

Je kunt een scalar met een vector of een matrix vermenigvuldigen.
Dat kan niet als je een scalar als een matrix van 1 bij 1 beschouwt.
Afgezien van deze uitzonderingspositie van een scalar is er geen enkel probleem om een vector als een speciale matrix te zien. Je kunt de verhouding scalar => vector => matrix vergelijken met vierkant => rechthoek => trapezium.
Zo kunt je ook een 2-dimensionale vector (als het uitkomt) zien als een punt in het vlak, of als een complex getal.

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2009 - 20:30

Om de verwarring nog wat op te voeren:
Een matrix is een vector.
De verzameling van matrices vormen een vectorruimte over een scalair lichaam.
De elementen van die verzameling worden vectoren genoemd.

Veranderd door PeterPan, 02 december 2009 - 20:31


#10

Dr.Gallons

    Dr.Gallons


  • >100 berichten
  • 119 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2009 - 22:58

Volgens mij betekent dit dus dat:
LaTeX

Dit klopt niet, een algemene Lorentz transformatie op een vector heeft een veel complexer karakter.

#11

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 december 2009 - 23:57

LaTeX

Ik zou zeggen dat men zoiets gewoonlijk schrijft als:
LaTeX
LaTeX of zelfs gewoon LaTeX
want de subscript-notatie staat voor "het i-de element van de vector"

Overigens gaat men er inderdaad meestal van uit dat als men een 'dimensie' hoger gaat qua matrices, dat oude regels dan nog zoveel mogelijk moeten kloppen. Zo kun je een scalair meestal wel zien als een vector met 1 element. Maar als je bijvoorbeeld een vector als een kolommatrix ziet, gaat het al mis bij de matrixvermenigvuldiging. Je zou dan 2 vectoren niet met elkaar kunnen vermenigvuldigen (tenzij je transponeert (al dan niet hermetisch), want dan bekom je gewoon het scalair product zoals we dat kenden bij vectoren.)

Veranderd door 317070, 03 december 2009 - 00:01

What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#12

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 december 2009 - 18:40

@Dr. Gallons: Zou je dat eens kunnen uitleggen?
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

#13

Dr.Gallons

    Dr.Gallons


  • >100 berichten
  • 119 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 december 2009 - 22:29

@Dr. Gallons: Zou je dat eens kunnen uitleggen?

Een algemene Lorentz Transformatie kan je hier vinden: http://en.wikipedia....ion#Matrix_form. In jouw geval moet je dan voor t = 0 invullen.

#14

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2009 - 01:01

Je kan de wortel van vectoren heel goed definiëren, want dit is een begrip dat in de theorie van C*-algebra's voorkomt.

Ik ga uit van een eindig dimensionale reële vectorruimte LaTeX .
We definiëren voor LaTeX het product LaTeX (hetgeen gelijk is aan product LaTeX dat Lenin definieerde).
Met dit product maak je van LaTeX een algebra met identiteit LaTeX . Er geldt dus LaTeX voor alle LaTeX .

We noemen een element LaTeX niet-inverteerbaar, als er geen LaTeX is zodat LaTeX .
We kunnen het spectrum LaTeX van een element LaTeX als volgt definiëren:
LaTeX .

We gebruiken de norm LaTeX , waarmee LaTeX een Banach algebra wordt en zelfs een C*-algebra (als we LaTeX zouden uitbreiden tot een complexe vectorruimte).

Een element waarvan het spectrum reëel en niet negatief is, heet in de theorie van C*-algebra's een positief element. Dus LaTeX heet positief indien LaTeX .

De verzameling van alle positieve elementen in LaTeX geven we aan met LaTeX .

Nu is er een mooie stelling in de theorie van C*-algebra's, namelijk dat voor elke element LaTeX er een unieke LaTeX is zodat LaTeX .
De vector LaTeX kan dus gezien worden als de wortel van LaTeX .

Een kanttekening. We zien dat niet alle elementen in LaTeX een wortel hebben. Dat is niet raar, want als we kijken naar de reële getallen, dan zien we dat alleen de positieve getallen een wortel hebben. Verder zien we dat LaTeX ook voldoet aan LaTeX . Dit is niet raar. Immers 2 is de wortel van 4, maar -2 in het kwadraat levert ook 4 op.

Tijd om een vergelijking te maken met de wortel die Lenin heeft gedefinieerd. We gaan eerst kijken wanneer een element LaTeX niet inverteerbaar is. Het is eenvoudig te zien dat met het gedefinieerde product dit alleen het geval is als een van de getalletjes LaTeX gelijk aan 0 is. We zien dan dat LaTeX niet inverteerbaar is, indien we LaTeX gelijk aan één van de LaTeX nemen. Dus het spectrum van LaTeX bestaat precies uit de elementen LaTeX . We zien dat het spectrum van een element LaTeX reëel en niet negatief is, dan en slechts dan als alle elementen uit de vector LaTeX reëel en niet negatief zijn.
Lenin heeft een wortel als volgt gedefinieerd: LaTeX . Dit heeft alleen zin als de getallen LaTeX niet negatief zijn. Dat is in overeenkomst met de eis uit de theorie van C*-algebra's. Verder is duidelijk dat als LaTeX , dan LaTeX , dus we zien dat de wortel van Lenin samenvalt met de wortel uit de theorie van de C*-algebra's.

Veranderd door The Black Mathematician, 09 december 2009 - 01:16


#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 09 december 2009 - 10:22

En met dit C* kanon is de vlieg definitief geveld. :eusa_whistle:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures