Je kan de wortel van vectoren heel goed definiëren, want dit is een begrip dat in de theorie van C*-algebra's voorkomt.
Ik ga uit van een eindig dimensionale reële vectorruimte
\(A\)
.
We definiëren voor
\(a,b\in A\)
het product
\(a b=(a_1b_1,a_2b_2,\ldots,a_nb_n)\)
(hetgeen gelijk is aan product
\(a\cross b\)
dat Lenin definieerde).
Met dit product maak je van
\(A\)
een algebra met identiteit
\(e=(1,1,1,\ldots,1)\)
. Er geldt dus
\(ae=ea=a\)
voor alle
\(a\in A\)
.
We noemen een element
\(a\in A\)
niet-inverteerbaar, als er geen
\(b\in A\)
is zodat
\(ab=ba=e\)
.
We kunnen het spectrum
\(\sigma(a)\)
van een element
\(a\in A\)
als volgt definiëren:
\(\sigma(a)=\{\lambda\in\cc :a-\lambda e\ \mathrm{is\ niet\ inverteerbaar}\}\)
.
We gebruiken de norm
\(\|a\|=\max\{|a_i|:i=1,\ldots, n\}\)
, waarmee
\(A\)
een Banach algebra wordt en zelfs een C*-algebra (als we
\(A\)
zouden uitbreiden tot een complexe vectorruimte).
Een element waarvan het spectrum reëel en niet negatief is, heet in de theorie van C*-algebra's een positief element. Dus
\(a\in A\)
heet positief indien
\(\sigma(a)\subset[0,\infty)\)
.
De verzameling van alle positieve elementen in
\(A\)
geven we aan met
\(A_+\)
.
Nu is er een mooie stelling in de theorie van C*-algebra's, namelijk dat voor elke element
\(a\in A_+\)
er een unieke
\(b\in A_+\)
is zodat
\(b^2=a\)
.
De vector
\(b\)
kan dus gezien worden als de wortel van
\(a\)
.
Een kanttekening. We zien dat niet alle elementen in
\(A\)
een wortel hebben. Dat is niet raar, want als we kijken naar de reële getallen, dan zien we dat alleen de positieve getallen een wortel hebben. Verder zien we dat
\(c=-b\)
ook voldoet aan
\(c^2=a\)
. Dit is niet raar. Immers 2 is de wortel van 4, maar -2 in het kwadraat levert ook 4 op.
Tijd om een vergelijking te maken met de wortel die Lenin heeft gedefinieerd. We gaan eerst kijken wanneer een element
\(a=(a_1,\ldots,a_n)\)
niet inverteerbaar is. Het is eenvoudig te zien dat met het gedefinieerde product dit alleen het geval is als een van de getalletjes
\(a_i\)
gelijk aan 0 is. We zien dan dat
\(a-\lambda e=(a_1-\lambda,\ldots,a_n-\lambda)\)
niet inverteerbaar is, indien we
\(\lambda\)
gelijk aan één van de
\(a_i\)
nemen. Dus het spectrum van
\(a\)
bestaat precies uit de elementen
\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)
. We zien dat het spectrum van een element
\(a\)
reëel en niet negatief is, dan en slechts dan als alle elementen uit de vector
\(a\)
reëel en niet negatief zijn.
Lenin heeft een wortel als volgt gedefinieerd:
\(\sqrt{a}=(\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_n})\)
. Dit heeft alleen zin als de getallen
\(a_i\)
niet negatief zijn. Dat is in overeenkomst met de eis uit de theorie van C*-algebra's. Verder is duidelijk dat als
\(b=\sqrt{a}\)
, dan
\(b^2=a\)
, dus we zien dat de wortel van Lenin samenvalt met de wortel uit de theorie van de C*-algebra's.
