Geef de Fourierontwikkeling (t.o.v.
\([-\pi,\pi]\)
) van de volgende functie, en ga na waar ze geldig is:\(\begin{equation*}f(x) = \left\{ \begin{array}{lr}-1 & \forall x \in \quad ](2k-1)\pi, 2k\pi[ \\1 & \forall x \in \quad ]2k\pi,(2k+1)\pi[\end{array}\right.\quad (k \in \mathbb{Z})\end{equation*}\)
Er geldt het volgende, waarmee je het stuk van de functie in het benodigde interval uitdrukt: \( f(x) = \frac{|x|}{x}, \quad x \in [-\pi,\pi] \)
De Fourierontwikkeling van dat stukje (en dan periodiek gemaakt) is simpel te bekomen:\(f(x) = \frac{4}{\pi} \sin x + \frac{4}{3\pi} \sin 3x + \frac{4}{5\pi} \sin 5x + ... \)
Nu zeggen ze dat deze ontwikkeling enkel 'geldig' is voor \( x \in ]0,\pi[ \)
...Waarom niet voor
\( x \in ]-\pi,\pi[\)
?
