Springen naar inhoud

Cauchyrij


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 december 2009 - 00:02

En ten slotte ook nog deze uitspraak die ik niet direct zie:

In elke genormeerde ruimte geldt dat een convergente rij een Cauchyrij is. Het omgekeerde geldt
echter niet altijd.

Waarom geldt het omgekeerde niet? Als het verschil tussen normen van opeenvolgende vectoren willekeurig klein kan gemaakt worden, is er toch ook convergentie?

Waar zit mijn denkfout?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 december 2009 - 00:03

Nee, daarvoor moet de ruimte ook volledig zijn. Bekijk bijvoorbeeld de rij van de decimale ontwikkeling van pi in de ruimte ](*,). Dit is een Cauchyrij, maar de limiet bestaat niet in ;) dus de rij convergeert niet in ;), maar wel in :eusa_whistle:.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 december 2009 - 00:07

Ach zo, ik wist niet dat de limiet ook werkelijk in de ruimte moest liggen, maar ik veronderstel dat de redenering erachter is dat je steeds een reŽel getal kan kiezen tussen je benadering in Q en pi zelf.

Klopt dit?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 december 2009 - 00:11

Ach zo, ik wist niet dat de limiet ook werkelijk in de ruimte moest liggen,

Bekijk de definitie van limiet nog eens, al zal dat waarschijnlijk alleen voor :eusa_whistle: gedefinieerd zijn. Maar je kan ook rijen in ](*,) bekijken of in... Voor convergentie moet er een getal L in je verzameling zitten zodat (epsilon-delta...).

maar ik veronderstel dat de redenering erachter is dat je steeds een reŽel getal kan kiezen tussen je benadering in Q en pi zelf.

Hier begrijp ik niet goed wat je wil zeggen. De redenering achter wat...? In mijn voorbeeld: niet convergent want pi zit niet in ;), wel Cauchy want het verschil tussen pi een een getal q uit ;) kan willekeurig klein gemaakt worden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 december 2009 - 00:15

Ik bedoelde dat de 'afstand' tussen de werkelijke waarde van pi en de benadering idd niet in Q zit, en wel in R.

De redenering 'In elke genormeerde ruimte geldt dat een convergente rij een Cauchyrij is. Het omgekeerde geldt
echter niet altijd.'

is waarschijnlijk ook de verklaring voor het feit dat elke Hilbertruimte een Banachruimte is, maar niet andersom?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 december 2009 - 00:22

Ik bedoelde dat de 'afstand' tussen de werkelijke waarde van pi en de benadering idd niet in Q zit, en wel in R.

Maar wat is de relevantie daarvan? Het feit dat de rij wel Cauchy is, komt net omdat je pi wel willekeurig goed kan benaderen met rationale getallen.

De redenering 'In elke genormeerde ruimte geldt dat een convergente rij een Cauchyrij is. Het omgekeerde geldt
echter niet altijd.'

is waarschijnlijk ook de verklaring voor het feit dat elke Hilbertruimte een Banachruimte is, maar niet andersom?

Een Banachruimte is een genormeerde vectorruimte die volledig is. Een Hilbertruimte is ook een volledige ruimte, ten opzichte van de norm die door het inproduct geÔnduceerd wordt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 december 2009 - 00:30

Maar wat is de relevantie daarvan?

Ik zie de zinloosheid van mijn argument in.

Een Banachruimte is een genormeerde vectorruimte die volledig is. Een Hilbertruimte is ook een volledige ruimte, ten opzichte van de norm die door het inproduct geÔnduceerd wordt.

OK, een Hilbertruimte is dus een strenger begrip, niet?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 december 2009 - 00:35

Banachruimten zijn inderdaad algemener, daar heb je gewoon een norm nodig. Bij een Hilbertruimte heb je een inproduct nodig en via dit inproduct heb je automatisch ook een norm. Maar niet elke norm is afkomstig van zo'n inproduct, je hebt dus Banachruimten die geen Hilbertruimte zijn, maar elke Hilbertruimte is wel een Banachruimte.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures