Springen naar inhoud

Commutativiteit van product van twee verzamelingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

de mann

    de mann


  • >25 berichten
  • 34 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 december 2009 - 12:01

Gegeven zijn twee verzamelingen X en Y, bewijs dan dat

A x B = B x A
als en slechts als
A = B of A = de lege verzameling of B is de lege verzameling.

Dit is was ik heb gedaan:

LaTeX

a) A = B:
Dan is A x B = B x A want A x A = A x A en B x B = B x B.

c) A :eusa_whistle: B
Stel er bestaat een verzameling C waarvoor geldt:
A x B = C = B x A
Dan is
LaTeX
Dan moet LaTeX (tenzij A = B).
Als LaTeX moet of A, of B de lege verzameling zijn.


Nu is mijn vraag:
Is dit een geldig bewijs?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44861 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 december 2009 - 13:00

Iemand die hier een handje kan toesteken?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#3

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2009 - 16:36

Dan moet LaTeX

(tenzij A = B).

Dit is natuurlijk hetgeen te bewijzen valt, dus deze stap zal je toch in detail moeten uitwerken.
Onderstel hiervoor eens dat LaTeX , dan leert de gelijkheid van de verzamelingen je iets over de elementen die ze bevatten. Kan je dit uitschrijven?

#4

de mann

    de mann


  • >25 berichten
  • 34 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 december 2009 - 17:57

Ten eerste, bedankt Jan van de Velde voor de bump.

Ten tweede, bedankt eendavid voor de reactie.
Ik veronderstelde dat er een niet lege verzameling C bestaat waarvoor geldt dat
LaTeX
Omdat A :eusa_whistle: B en ook dat A en B niet leeg zijn, dan kan deze gelijkheid niet opgaan voor een niet-lege C. Dus moet C wel leeg zijn.

Ik heb denk ik al een iets makkelijker bewijs gevonden echter. Hier gaan we:

1) LaTeX dan is LaTeX
Analoog voor LaTeX

2) Als geldt A x B = B x A dan is elk koppel (a,b) ](*,) A x B = B x A
dit is equivalent met: a ;) A en b ](*,) B (1)
dit is equivalent met: a :lol: B en b 8-) A (2)

uit (1) en (2) volgt A = B.

Veranderd door de mann, 09 december 2009 - 17:58


#5

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 december 2009 - 20:15

Wel, het is precies de 'kan deze gelijkheid niet opgaan' die je preciezer moet neerschrijven ('het is correct, maar het staat er niet').

Ook bij de laatste stap is je bewijs niet rigoureus correct (je begrijpt de idee erachter, maar je gebruik van de wiskundige rigourisiteit is niet correct). Wat je zegt is het volgende. Onderstel AxB=BxA is niet de lege verzameling. Neem hieruit een element
(a,b) (met dus LaTeX en LaTeX ). Dan weet je dat ook geldt LaTeX en LaTeX . Maar je moet iets precies zijn om hieruit te concluderen dat A=B. Vermits B niet leeg is (anders was AxB leeg) volgt dat je voor alle LaTeX kan besluiten dat LaTeX , met andere woorden LaTeX . En vermits A niet leeg is, volgt voor alle LaTeX dat LaTeX , met andere woorden LaTeX . Uit LaTeX en LaTeX volgt uiteindelijk A=B.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures