Commutativiteit van product van twee verzamelingen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 34

Commutativiteit van product van twee verzamelingen

Gegeven zijn twee verzamelingen X en Y, bewijs dan dat

A x B = B x A

als en slechts als

A = B of A = de lege verzameling of B is de lege verzameling.

Dit is was ik heb gedaan:
\( A \times B = \{ \( a,b \)| a \in A \mbox{ en } b \in B \}\)
a) A = B:

Dan is A x B = B x A want A x A = A x A en B x B = B x B.

c) A :eusa_whistle: B

Stel er bestaat een verzameling C waarvoor geldt:

A x B = C = B x A

Dan is
\(C = \{ ( a,b )| a \in A, b \in B \} = \{ ( b,a )| b \in B , a \in A \}\)
Dan moet
\(C = \o\)
(tenzij A = B).

Als
\(C = \o\)
moet of A, of B de lege verzameling zijn.

Nu is mijn vraag:

Is dit een geldig bewijs?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: Commutativiteit van product van twee verzamelingen

Iemand die hier een handje kan toesteken?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Commutativiteit van product van twee verzamelingen

Dan moet
\(C = \o\)
(tenzij A = B).
Dit is natuurlijk hetgeen te bewijzen valt, dus deze stap zal je toch in detail moeten uitwerken.

Onderstel hiervoor eens dat
\(C \neq \o\)
, dan leert de gelijkheid van de verzamelingen je iets over de elementen die ze bevatten. Kan je dit uitschrijven?

Berichten: 34

Re: Commutativiteit van product van twee verzamelingen

Ten eerste, bedankt Jan van de Velde voor de bump.

Ten tweede, bedankt eendavid voor de reactie.

Ik veronderstelde dat er een niet lege verzameling C bestaat waarvoor geldt dat
\(C = \{ ( a,b )| a \in A, b \in B \} = \{ ( b,a )| b \in B , a \in A \}\)
Omdat A :eusa_whistle: B en ook dat A en B niet leeg zijn, dan kan deze gelijkheid niet opgaan voor een niet-lege C. Dus moet C wel leeg zijn.

Ik heb denk ik al een iets makkelijker bewijs gevonden echter. Hier gaan we:

1)
\(A = \o\)
dan is
\(A \times B = \o \times B = \o = B \times A\)
Analoog voor
\(B = \o\)
2) Als geldt A x B = B x A dan is elk koppel (a,b) ](*,) A x B = B x A

dit is equivalent met: a ;) A en b ](*,) B (1)

dit is equivalent met: a ](*,) B en b 8-) A (2)

uit (1) en (2) volgt A = B.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Commutativiteit van product van twee verzamelingen

Wel, het is precies de 'kan deze gelijkheid niet opgaan' die je preciezer moet neerschrijven ('het is correct, maar het staat er niet').

Ook bij de laatste stap is je bewijs niet rigoureus correct (je begrijpt de idee erachter, maar je gebruik van de wiskundige rigourisiteit is niet correct). Wat je zegt is het volgende. Onderstel AxB=BxA is niet de lege verzameling. Neem hieruit een element

(a,b) (met dus
\(a \in A\)
en
\(b \in B\)
). Dan weet je dat ook geldt
\(a \in B\)
en
\(b \in A\)
. Maar je moet iets precies zijn om hieruit te concluderen dat A=B. Vermits B niet leeg is (anders was AxB leeg) volgt dat je voor alle
\(a \in A\)
kan besluiten dat
\(a \in B\)
, met andere woorden
\(A\subseteq B\)
. En vermits A niet leeg is, volgt voor alle
\(b \in B\)
dat
\(b\in A\)
, met andere woorden
\(B \subseteq A\)
. Uit
\(A\subseteq B\)
en
\(B \subseteq A\)
volgt uiteindelijk A=B.

Reageer