Springen naar inhoud

Eigenwaarden bij bilineaire afbeeldingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2009 - 00:14

http://homepages.vub...enepe/linea.pdf p. 139

1/ De matrix M bestaat altijd omdat b een symmetrische afbeelding is, omdat b een zelftoegevoegde afbeelding is?

2/ Er wordt een nieuwe basis U vastgelegd die bestaat uit lineaire combinaties van de basisvectoren ei. Het feit dat we weten dat het opnieuw om een basis gaat, is te wijten aan het feit dat je als gewichten mij neemt, en de matrix in feite diagonaliseert, en dus automatisch eigenvectoren berekent en deze als basisvectoren neemt, of heb ik het verkeerd?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2009 - 00:36

1) Omdat A symmetrisch is.

2) Ik begrijp niet goed wat je bedoelt met "en de matrix in feite diagonaliseert"... Je weet wel dat die eigenvectoren die in M zitten, lineair onafhankelijk zijn. Meer nog, M vormt een orthogonale matrix en (zie stelling 6.4.6) die zet een orthonormale basis dus om in een orthonormale basis.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2009 - 00:49

Dus zowel matrix A als M zijn symmetrisch?

Van A is dat logisch, van M zie ik het niet direct.


De redenering van in het begin: b is symmetrisch, dus zijn matrix A=At, dus zegt stelling 7.3.5 (zelftoegevoegd impliceert het bestaan van een orthonormale basis van eigenvectoren) dat M altijd bestaat en orthogonaal is.

Maar is M daarom ook symmetrisch? Ik zie waarschijlijk weer iets over het hoofd...
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2009 - 00:54

Ik had per ongeluk eerst M geschreven, maar had dat intussen veranderd naar A.
Het is omdat A symmetrisch is, dat een orthogonale M bestaat zodat... Enzovoort.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2009 - 01:01

OK, zover ben ik dan weer mee.

Dan komen de eigenwaarden tevoorschijn.

Daar had ik ook een vraag over :eusa_whistle:


Ik ken de procedure om eigenwaarden, eigenvectoren, eigenruimten, etc. te berekenen, maar ik vraag me af wat dat nu net inhoudt: ik dacht dat we door middel van de eigenwaarden eigenvectoren vinden, die, in kolom geplaatst, voor een gegeven afbeelding met matrix A, een nieuwe, eenvoudigere matrix A' vormen voor dezelfde afbeelding in een andere basis, namelijk een basis bestaande uit eigenvectoren.

Maar wat staat er dan in de kolommen van de overgangsmatrix?

Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2009 - 01:07

De overgang tussen de oude basis en de nieuwe basis (= eigenvectoren). Als de oude de standaardbasis is, is dat dus precies de matrix met in de kolommen de eigenvectoren (en de inverse daarvan voor de andere richting van overgang).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2009 - 01:10

ok, bedankt (bis)
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2009 - 01:15

Zie ook de formule van stelling 2.6.2, je hebt precies iets van die vorm (zoals vlak boven de stelling). De matrix A hoort bij een lineaire afbeelding f en diezelfde f heeft matrix A' ten opzichte van een andere basis, diagonaal wanneer je de overgang kiest naar een basis van eigenvectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2009 - 21:14

Dus, ik probeer het even samen te vatten:

We hebben een zekere afbeelding f met matrix A ten opzichte van een zekere basis. We zoeken de basis ten opzichte waarvan de matrix van f een diagonaalmatrix is, met als hoofdelementen de eigenwaarden. Om naar die basis over te gaan, nemen we als overgangsmatrix de matrix waarvan de kolommen bestaan uit de eigenvectoren van A. Om A te diagonaliseren, passen we dus
D=P-1AP toe.

Correct?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2009 - 21:17

Inderdaad, met de nuance dat dit dus niet steeds mogelijk is.

We zoeken de basis ten opzichte waarvan de matrix van f een diagonaalmatrix is(...)

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2009 - 21:24

Dat begrijp ik, maar ik vroeg me dan ook het volgende af:
hoe bereken je dan de macht van een niet-diagonaliseerbare matrix (zonder A*A*A*...*A te moeten gebruiken)?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2009 - 21:30

Wat bedoel (of zoek) je eigenlijk precies...?

Moet je opgaven kunnen maken waarbij je met de hand een macht van een niet-diagonaliseerbare matrix moet berekenen zonder de vermenigvuldigingen expliciet te doen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2009 - 21:37

Neen, de opgaven van machtsberekening van matrices waren allemaal 'braaf', waarbij A diagonaliseerbaar is, maar ik vroeg me af of er ook een snelle manier bestaat voor de niet-diagonaliseerbare matrices, vandaar mijn vraag...
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2009 - 21:50

Het is natuurlijk steeds gemakkelijker de vermenigvuldiging uit te voeren wanneer er veel nullen zijn. Iets dat altijd werkt, is de matrix naar Jordanvorm brengen. Vermenigvuldigen (en dus machten) is dan eenvoudiger, maar nog altijd niet wat je hebt bij een diagonaalmatrix (gewoon de diagonaalelementen tot die macht).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2009 - 23:19

OK, bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures