Afschatten,afpassen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 24

Afschatten,afpassen

We moeten door middel van de limietdefinitie de volgende limiet bewijzen.
\(\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-x-2}{2x-3}\end{equation}\)
De definitie van een limiet luidt als volgt:
\(\begin{equation}\forall\epsilon >0:\exists\delta>0:\forall x\in\Re:0<\left|x-a\right|<\delta\rightarrow\left|f(x)-L\right|<\epsilon\end{equation}\)
Waarbij in dit geval
\(a=1\)
en
\(L=2\)
.Het bewijs gaat dan als volgt:

Laat
\(\epsilon\)
een willekeurig positief getal zijn.Kies een
\(\delta\)
(slim).Laat x een willekeurig getal zijn.Laat die
\(\delta=min\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{8}\epsilon\right\}\)
en stel
\(0<\left|x-1\right|<\delta\)
, dan
\(\begin{equation}\left|\frac{x^2-x-2}{2x-3}-2\right|=\left|x-1\right|.\frac{\left|x-4\right|}{\left|2x-3\right|}<\delta8\leq\epsilon\end{equation}\)
Het bewijs is officieel compleet, alleeeen!!! Hoe hebben we die
\(\delta\)
'slim' gekozen?Dat gebeurt natuurlijk

allemaal op kladpapier. We gaan kijken waarom
\(\frac{\left|x-4\right|}{\left|2x-3\right|}<8\)
. Die rationale functie heeft een verticale asymptoot

bij
\(2x-3=0 \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
. De getallen
\(x\)
gaan naar 1 maar bereiken nooit
\(\frac{3}{2}\)
. Dus moeten we een afstand daartussen zien te vinden(afschatten dus). Ff kijkuh:
\(\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\)
.Laten we
\(\frac{1}{3}\)
als afstand nemen,want
\(\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\)
. Op de x-as zie je dus het volgende verschijnen.

Naast de 1 zit
\(1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\)
.

Vul
\(\frac{4}{3}\)
in
\(\frac{\left|x-4\right|}{\left|2x-3\right|}\leq 8\)
. Tadaah. Kies
\(\delta=\frac{1}{8}\epsilon\)
, vul in en je komt uit op epsilon.

Dit was een stukje huiswerk analyse. Ik begrijp het afschatten redelijk voor deze opgave, maar ik vraag me

af hoe het afschatten in zijn algemeenheid werkt. Is daar een stelling voor ofso. Hoe komen de proffen eraan en welke

methoden gebruiken ze altijd om reeksen af te schatten,ongelijkheden en absolute waarden. Ik hoor proffen wel eens zeggen:'de boel klein praten',dan voeren ze wat uit en presto: het antwoord. Zijn het soms technieken uit de hogere algebra?Zo ja, is er toevallig een cursus op het internet beschikbaar(dictaatje, iets online ,'t maakt allemaal niet uit) of is er een goed boek over geschreven?Graag hoor ik snel wat van jullie.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Afschatten,afpassen

Zoals je hier kan zien, komt er geen hogere algebra aan te pas. Het is wat 'prutsen', maar dat klinkt zo slecht. Noem het dan 'professioneel prutsen'. Er is geen algemeen recept, want er is ook geen unieke 'juiste afschatting'. Je had ook je delta onderweg zo kunnen kiezen dat je nog wat dichter bij 1 blijft, delta zal dan het minimum worden van twee andere waarden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 24

Re: Afschatten,afpassen

Hahahahahha ](*,) :eusa_whistle: ok dan, maar hoe zit het dan met afschatten(klein praten) van reeksen,ongelijkheden en absolute waarden??

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Afschatten,afpassen

Dit is te vaag/algemeen om zomaar iets over te kunnen zeggen; voor zover ik weet zijn daar in elk geval geen algemene regeltjes voor. Als je vragen hebt over een concreter voorbeeld, kan ik je wel proberen verder te helpen of uitleg te geven.

Het is in elk geval zo dat een groot stuk van de analyse (in verschillende takken van de wiskunde) vaak neerkomt op afschattingen. Het is dus zeker een belangrijk "onderdeel" van "aan wiskunde doen". Het lijkt me iets waar je meer bedreven in geraakt door het gewoon veel te doen en te leren uit voorbeelden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer