We moeten door middel van de limietdefinitie de volgende limiet bewijzen.
\(\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-x-2}{2x-3}\end{equation}\)
De definitie van een limiet luidt als volgt:
\(\begin{equation}\forall\epsilon >0:\exists\delta>0:\forall x\in\Re:0<\left|x-a\right|<\delta\rightarrow\left|f(x)-L\right|<\epsilon\end{equation}\)
Waarbij in dit geval
\(a=1\)
en
\(L=2\)
.Het bewijs gaat dan als volgt:
Laat
\(\epsilon\)
een willekeurig positief getal zijn.Kies een
\(\delta\)
(slim).Laat x een willekeurig getal zijn.Laat die
\(\delta=min\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{8}\epsilon\right\}\)
en stel
\(0<\left|x-1\right|<\delta\)
, dan
\(\begin{equation}\left|\frac{x^2-x-2}{2x-3}-2\right|=\left|x-1\right|.\frac{\left|x-4\right|}{\left|2x-3\right|}<\delta8\leq\epsilon\end{equation}\)
Het bewijs is officieel compleet, alleeeen!!! Hoe hebben we die
\(\delta\)
'slim' gekozen?Dat gebeurt natuurlijk
allemaal op kladpapier. We gaan kijken waarom
\(\frac{\left|x-4\right|}{\left|2x-3\right|}<8\)
. Die rationale functie heeft een verticale asymptoot
bij
\(2x-3=0 \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
. De getallen
\(x\)
gaan naar 1 maar bereiken nooit
\(\frac{3}{2}\)
. Dus moeten we een afstand daartussen zien te vinden(afschatten dus). Ff kijkuh:
\(\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\)
.Laten we
\(\frac{1}{3}\)
als afstand nemen,want
\(\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\)
. Op de x-as zie je dus het volgende verschijnen.
Naast de 1 zit
\(1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\)
.
Vul
\(\frac{4}{3}\)
in
\(\frac{\left|x-4\right|}{\left|2x-3\right|}\leq 8\)
. Tadaah. Kies
\(\delta=\frac{1}{8}\epsilon\)
, vul in en je komt uit op epsilon.
Dit was een stukje huiswerk analyse. Ik begrijp het afschatten redelijk voor deze opgave, maar ik vraag me
af hoe het afschatten in zijn algemeenheid werkt. Is daar een stelling voor ofso. Hoe komen de proffen eraan en welke
methoden gebruiken ze altijd om reeksen af te schatten,ongelijkheden en absolute waarden. Ik hoor proffen wel eens zeggen:'de boel klein praten',dan voeren ze wat uit en presto: het antwoord. Zijn het soms technieken uit de hogere algebra?Zo ja, is er toevallig een cursus op het internet beschikbaar(dictaatje, iets online ,'t maakt allemaal niet uit) of is er een goed boek over geschreven?Graag hoor ik snel wat van jullie.