Springen naar inhoud

Behoud van orthogonalteit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 december 2009 - 09:10

Hoe bewijs je of zie je dat LaTeX

Met de t bedoel ik toegevoegd, maar ik krijg het tekentje niet getypt in latex...

Veranderd door In fysics I trust, 13 december 2009 - 09:11

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2009 - 11:23

Als je gevolg 6.4.5 begrijpt, volgt dat triviaal:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 december 2009 - 12:47

Het was om dat gevolg te begrijpen, dat ik dit vroeg :eusa_whistle:

Ik zie niet hoe dit volgt uit de stelling erboven.

De toegevoegde van f is de inverse, dat staat er toch? Maar waarom volgt 6.4.5 hieruit?


Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2009 - 13:12

Ge´nspireerd door de laatste uitdrukking in de stelling ervoor, kan je ook schrijven:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 december 2009 - 13:55

Alweer bedankt, TD! De toegevoegde van f is dus zijn inverse?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2009 - 14:20

Als f orthogonaal is (zie 6.4.4).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 december 2009 - 14:51

Ja, dat bedoelde ik, bedankt!

  • 6.4.6 volgt onmiddellijk uit 6.4.1 en 6.4.2, maar waarom wordt er dan toch nog iets bewezen?

  • 6.4.7: Als A een orthogonale matrix is, dan hoort hij bij een orthogonale afbeelding, dan wordt de norm bewaard, maar waarom kan je besluiten dat de kolommen een orthonormale basis vormen?


  • Als we nu ook nog willen aantonen dat hetzelfde geldt voor de rijen, moeten we aantonen dat LaTeX orthogonaal en f orthogonaal equivalent zijn. Hebt u daar ook een aanwijzing voor?
Opnieuw erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2009 - 15:09

  • 6.4.6 volgt onmiddellijk uit 6.4.1 en 6.4.2, maar waarom wordt er dan toch nog iets bewezen?

Een implicatie volgt triviaal, men toont dan nog de andere implicatie (de stelling is een equivalentie).

  • 6.4.7: Als A een orthogonale matrix is, dan hoort hij bij een orthogonale afbeelding, dan wordt de norm bewaard, maar waarom kan je besluiten dat de kolommen een orthonormale basis vormen?

De standaardbasis (die is orthonormaal) wordt omgezet in een basis bestaande uit de kolomvectoren.

  • Als we nu ook nog willen aantonen dat hetzelfde geldt voor de rijen, moeten we aantonen dat LaTeX orthogonaal en f orthogonaal equivalent zijn. Hebt u daar ook een aanwijzing voor?

Uit puntje 2 van dat gevolg, volgt dat de matrix horend bij de inverse afbeelding de getransponeerde matrix is; dus je hebt het voorgaande ook voor de rijen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 december 2009 - 15:21

Het tweede zie ik nog steeds niet, het spijt me.

f orthogonaal >... >de matrix van f bestaat uit orthonormale kolommen.

Voor de standaardbasis zie ik dat in, maar voor een willekeurige orthogonale afbeelding nog steeds niet

...
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2009 - 15:39

f orthogonaal > een orthogonale afbeelding zet orthonormale basissen om in orthonormale basissen >de matrix van f bestaat uit orthonormale kolommen.

Op de puntjes gebruik je stelling 6.4.6. Bepaal onder f het beeld van de standaardbasis (die is orthonormaal), en het resultaat is ook een orthonormale basis. Maar het beeld van de standaardbasis, zijn precies de kolomvectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 december 2009 - 15:59

Dat is het, alweer!

De orthogonale afbeelding f zet de orthonormale standaardbasis om in een nieuwe orthonormale basis. Omdat het beeld van de standaardbasis uit kolomvectoren bestaat, weten we dat deze kolommen orthonormale kolommen bevat.

De orthogonaliteit van f zorgt er echter ook voor dat de toegevoegde van f de inverse van f is. Dan weten we ook dat als f orthogonaal is, zijn toegevoegde dat ook is.

Om over te gaan tussen kolommen en rijen van de matrix behorende bij f, moeten we transponeren. Maar we weten ook dat de getransponeerde van matrix A hoort bij de toegevoegde van f. En van de toegevoegde van f weten we dat hij ook orthogonaal is. We passen het voorgaande nu toe op de toegevoegde van f, dus op de getransponeerde van A, dus geldt de eigenschap die we net hebben aangetoond voor de kolommen, ook voor de rijen.

Is mijn inzicht nu correct?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2009 - 17:21

De orthogonale afbeelding f zet de orthonormale standaardbasis om in een nieuwe orthonormale basis. Omdat het beeld van de standaardbasis uit kolomvectoren bestaat, weten we dat deze kolommen orthonormale kolommen bevat.

Misschien bedoel je hetzelfde, maar het is toch wat verwarrend gezegd. Het beeld van de i-de basisvector uit de standaardbasis, is de i-de kolom. Elke vector is natuurlijk een "kolomvector", maar het gaat erom dat de beelden van de basisvectoren uit de standaardbasis, precies de kolommen van de matrix zijn. Die kolommen vormen dus een orthonormale basis.

De orthogonaliteit van f zorgt er echter ook voor dat de toegevoegde van f de inverse van f is. Dan weten we ook dat als f orthogonaal is, zijn toegevoegde dat ook is.

Niet alleen inverse, maar voor orthogonale matrices is dat precies de getransponeerde: dus rijen wisselen met kolommen en ook de rijen vormen een orthonormale basis.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 december 2009 - 17:28

Dat begrijp ik nu (eindelijk) helemaal, dankzij u!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2009 - 17:36

Graag gedaan :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures