\(\Vert f(\bar{x}) \Vert = \Vert f^t(\bar{x}) \Vert \)
Met de t bedoel ik toegevoegd, maar ik krijg het tekentje niet getypt in latex...
Laatste berichten
-
18:53
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18:51
Herleiden afmetingen vanaf een foto 5
-
18:09
Rotatie van het heelal 32
-
17:19
Ervaringen met "herontdekkingen" 12
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
18 apr
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
18 apr
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Behoud van orthogonalteit
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 7.390
Behoud van orthogonalteit
Hoe bewijs je of zie je dat
Met de t bedoel ik toegevoegd, maar ik krijg het tekentje niet getypt in latex...
Met de t bedoel ik toegevoegd, maar ik krijg het tekentje niet getypt in latex...
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: Behoud van orthogonalteit
Als je gevolg 6.4.5 begrijpt, volgt dat triviaal:
\(\left\| {f\left( {\vec x} \right)} \right\| = \left\| {\vec x} \right\| = \left\| {{f^\dag }\left( {\vec x} \right)} \right\|\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: Behoud van orthogonalteit
Het was om dat gevolg te begrijpen, dat ik dit vroeg :eusa_whistle:
Ik zie niet hoe dit volgt uit de stelling erboven.
De toegevoegde van f is de inverse, dat staat er toch? Maar waarom volgt 6.4.5 hieruit?
Nogmaals bedankt!
Ik zie niet hoe dit volgt uit de stelling erboven.
De toegevoegde van f is de inverse, dat staat er toch? Maar waarom volgt 6.4.5 hieruit?
Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: Behoud van orthogonalteit
Geïnspireerd door de laatste uitdrukking in de stelling ervoor, kan je ook schrijven:
\(\left\langle {\vec x,\vec y} \right\rangle = \left\langle {\vec x,\left( {f \circ {f^\dag }} \right)\left( {\vec y} \right)} \right\rangle = \left\langle {{f^\dag }\left( {\vec x} \right),{f^\dag }\left( {\vec y} \right)} \right\rangle \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: Behoud van orthogonalteit
Alweer bedankt, TD! De toegevoegde van f is dus zijn inverse?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: Behoud van orthogonalteit
Als f orthogonaal is (zie 6.4.4).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: Behoud van orthogonalteit
Ja, dat bedoelde ik, bedankt!
- 6.4.6 volgt onmiddellijk uit 6.4.1 en 6.4.2, maar waarom wordt er dan toch nog iets bewezen?
- 6.4.7: Als A een orthogonale matrix is, dan hoort hij bij een orthogonale afbeelding, dan wordt de norm bewaard, maar waarom kan je besluiten dat de kolommen een orthonormale basis vormen?
- Als we nu ook nog willen aantonen dat hetzelfde geldt voor de rijen, moeten we aantonen dat \({{f^\dag }\)orthogonaal en f orthogonaal equivalent zijn. Hebt u daar ook een aanwijzing voor?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: Behoud van orthogonalteit
Een implicatie volgt triviaal, men toont dan nog de andere implicatie (de stelling is een equivalentie).In fysics I trust schreef:
- 6.4.6 volgt onmiddellijk uit 6.4.1 en 6.4.2, maar waarom wordt er dan toch nog iets bewezen?
De standaardbasis (die is orthonormaal) wordt omgezet in een basis bestaande uit de kolomvectoren.In fysics I trust schreef:
- 6.4.7: Als A een orthogonale matrix is, dan hoort hij bij een orthogonale afbeelding, dan wordt de norm bewaard, maar waarom kan je besluiten dat de kolommen een orthonormale basis vormen?
Uit puntje 2 van dat gevolg, volgt dat de matrix horend bij de inverse afbeelding de getransponeerde matrix is; dus je hebt het voorgaande ook voor de rijen.In fysics I trust schreef:
- Als we nu ook nog willen aantonen dat hetzelfde geldt voor de rijen, moeten we aantonen dat
\({{f^\dag }\)orthogonaal en f orthogonaal equivalent zijn. Hebt u daar ook een aanwijzing voor?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: Behoud van orthogonalteit
Het tweede zie ik nog steeds niet, het spijt me.
f orthogonaal >... >de matrix van f bestaat uit orthonormale kolommen.
Voor de standaardbasis zie ik dat in, maar voor een willekeurige orthogonale afbeelding nog steeds niet
...
f orthogonaal >... >de matrix van f bestaat uit orthonormale kolommen.
Voor de standaardbasis zie ik dat in, maar voor een willekeurige orthogonale afbeelding nog steeds niet
...
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: Behoud van orthogonalteit
Op de puntjes gebruik je stelling 6.4.6. Bepaal onder f het beeld van de standaardbasis (die is orthonormaal), en het resultaat is ook een orthonormale basis. Maar het beeld van de standaardbasis, zijn precies de kolomvectoren.f orthogonaal > een orthogonale afbeelding zet orthonormale basissen om in orthonormale basissen >de matrix van f bestaat uit orthonormale kolommen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: Behoud van orthogonalteit
Dat is het, alweer!
De orthogonale afbeelding f zet de orthonormale standaardbasis om in een nieuwe orthonormale basis. Omdat het beeld van de standaardbasis uit kolomvectoren bestaat, weten we dat deze kolommen orthonormale kolommen bevat.
De orthogonaliteit van f zorgt er echter ook voor dat de toegevoegde van f de inverse van f is. Dan weten we ook dat als f orthogonaal is, zijn toegevoegde dat ook is.
Om over te gaan tussen kolommen en rijen van de matrix behorende bij f, moeten we transponeren. Maar we weten ook dat de getransponeerde van matrix A hoort bij de toegevoegde van f. En van de toegevoegde van f weten we dat hij ook orthogonaal is. We passen het voorgaande nu toe op de toegevoegde van f, dus op de getransponeerde van A, dus geldt de eigenschap die we net hebben aangetoond voor de kolommen, ook voor de rijen.
Is mijn inzicht nu correct?
De orthogonale afbeelding f zet de orthonormale standaardbasis om in een nieuwe orthonormale basis. Omdat het beeld van de standaardbasis uit kolomvectoren bestaat, weten we dat deze kolommen orthonormale kolommen bevat.
De orthogonaliteit van f zorgt er echter ook voor dat de toegevoegde van f de inverse van f is. Dan weten we ook dat als f orthogonaal is, zijn toegevoegde dat ook is.
Om over te gaan tussen kolommen en rijen van de matrix behorende bij f, moeten we transponeren. Maar we weten ook dat de getransponeerde van matrix A hoort bij de toegevoegde van f. En van de toegevoegde van f weten we dat hij ook orthogonaal is. We passen het voorgaande nu toe op de toegevoegde van f, dus op de getransponeerde van A, dus geldt de eigenschap die we net hebben aangetoond voor de kolommen, ook voor de rijen.
Is mijn inzicht nu correct?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: Behoud van orthogonalteit
Misschien bedoel je hetzelfde, maar het is toch wat verwarrend gezegd. Het beeld van de i-de basisvector uit de standaardbasis, is de i-de kolom. Elke vector is natuurlijk een "kolomvector", maar het gaat erom dat de beelden van de basisvectoren uit de standaardbasis, precies de kolommen van de matrix zijn. Die kolommen vormen dus een orthonormale basis.De orthogonale afbeelding f zet de orthonormale standaardbasis om in een nieuwe orthonormale basis. Omdat het beeld van de standaardbasis uit kolomvectoren bestaat, weten we dat deze kolommen orthonormale kolommen bevat.
Niet alleen inverse, maar voor orthogonale matrices is dat precies de getransponeerde: dus rijen wisselen met kolommen en ook de rijen vormen een orthonormale basis.De orthogonaliteit van f zorgt er echter ook voor dat de toegevoegde van f de inverse van f is. Dan weten we ook dat als f orthogonaal is, zijn toegevoegde dat ook is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: Behoud van orthogonalteit
Dat begrijp ik nu (eindelijk) helemaal, dankzij u!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: Behoud van orthogonalteit
Graag gedaan :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
