Springen naar inhoud

Bewijs dat elke wortel van een priemgetal irrationaal is


  • Log in om te kunnen reageren

#1

afrutado

    afrutado


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 december 2009 - 14:06

Bewijs dat p^(1/n) = irrationaal, met p = priem, en n een geheel getal groter dan 1.

Om tegenspraak te bereiken, neem ik aan dat p^(1/n) = rationaal, dus p^(1/n) is te schrijven als:
p^(1/n) = a/b, met a,b integer, b ongelijk aan 0, ggd(a,b)=1.
p = a^n/b^n
p*b^n = a^n
dus p | a^n
en omdat p is priem, p | a.
dus p*s = a, met s een integer.
dus a is deelbaar door p, dit is een tegenspraak omdat a/b onverklijnbaar (irreducible) is.

maar volgensmij klopt dit bewijs niet helemaal.
kan iemand mij vertellen waar het fout gaat?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 13 december 2009 - 14:21

Naar mijn idee is dit bijna correct, behalve het woord "verklijnbaar".
Je moet ook nog aantonen dat b^n een factor zou moeten bevatten.

Veranderd door Safe, 13 december 2009 - 14:26


#3

afrutado

    afrutado


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 december 2009 - 15:00

Naar mijn idee is dit bijna correct, behalve het woord "verklijnbaar".
Je moet ook nog aantonen dat b^n een factor zou moeten bevatten.


Ik bedoel dus irreducible, kan alleen niet op het nederlandse woord ervoor komen.
Gewoon ggd(a,b) = 1

En met dat b^n en een factor, bedoel je dan iets in de richting van: b * b^n-1 ?

#4

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2009 - 17:58

In het Nederlands wordt de term irreducibel gebruikt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 13 december 2009 - 18:23

irreducibel of ondeelbaar

Geef het bewijs eens voor een vierkantswortel.

#6

afrutado

    afrutado


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 december 2009 - 18:53

Neem aan dat p wel rationaal is. Met p is priem, en a,b integers, met b ongelijk aan 0. En ggd(a,b) = 1
[wortel]p = a/b
p = a2/b2
pb2 = a2
p | a2, en omdat p priem, p | a
Maar omdat gezegd is dat ggd(a,b) = 1, en dus a/b niet verder vereenvoudigd kan worden. Kan p niet ook a delen. En is er dus een tegenspraak bereikt.

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 13 december 2009 - 19:23

Neem aan dat p wel rationaal is. Met p is priem, en a,b integers, met b ongelijk aan 0. En ggd(a,b) = 1
[wortel]p = a/b
p = a2/b2
pb2 = a2
p | a2, en omdat p priem, p | a
Maar omdat gezegd is dat ggd(a,b) = 1, en dus a/b niet verder vereenvoudigd kan worden. Kan p niet ook a delen. En is er dus een tegenspraak bereikt.

Maar omdat gezegd is dat ggd(a,b) = 1, en dus a/b niet verder vereenvoudigd kan worden. Kan p niet ook b delen. En is er dus een tegenspraak bereikt.

Dit zal je bedoelen. Maar nu zet je de stap te snel.
Stel a=p*t enz





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures