Springen naar inhoud

Convergentie van bepaalde integralen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 december 2009 - 15:21

p. 118 http://homepages.vub...pe/analyse1.pdf stelling 7.1.4

Omdat g monotoon en begrensd is, bestaat...

De laatste regel (zie quote) snap ik niet echt...

Kan iemand me daarbij helpen?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2009 - 15:38

Bedoel je dat je niet begrijpt waarom g monotoon en begrensd is? Het monotoon zijn volgt uit de voorwaarden die werden gesteld in het begin van de stelling en de begrensdheid volgt uit de convergentie van de integraal LaTeX .

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2009 - 19:37

Het feit dat g monotoon is, volgt uit de definitie van g: g(x) is de integraal van een niet-negatieve functie op [a,x].
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 december 2009 - 21:21

OK, de stelling heeft de bedoeling om een convergentiecriterium op te stellen voor oneigenlijke integralen van de eerste soort.

Om het criterium te kunnen toepassen, moet de functie continu zijn over het integratieoverval. Het criterium houdt in dat we een breuk van de volgende gedaante moeten vinden: java script:void(0); en dat er een b moet bestaan waarvoor de functiewaarde vanaf die b, kleiner blijft dan de breuk die we net hebben gedefinieerd. Als voorwaarde wordt er gesteld dat die b verder ligt dan het beginpunt van het integratie-interval (=a), m>0 en java script:void(0);.

Dan wordt er een functie g genomen en die wordt volgens Möbius opgedeeld in het deel van de ondergrens van het integratie-interval tot aan b, vanaf waar de functiewaarde kleiner blijft dan de breuk. Dat begrijp ik. In de volgende lijn worden de gegevens toegepast in de redenering. Dat begrijp ik ook nog. Dat 'deze laatste integraal' convergent is wegens het voorbeeld erboven, begrijp ik ook. Bijgevolg is g begrensd: in orde. We hebben nu aangetoond dat g én monotoon is én begrensd is. M.a.w. al het nodige is verzameld om de stelling te bewijzen.

Alleen zie ik niet waarom die limiet van g(x) bestaat zodat die gelijk is aan de integraal die er staat.

Eén stap begrijp ik dus niet (wel de cruciale).

Wil iemand zo goed zijn me nogmaals te helpen? Weerom bedankt voor jullie hulp en geduld!

Veranderd door In fysics I trust, 20 december 2009 - 21:25

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2009 - 21:48

Kijk naar de definitie van g(x), net na "Stel" (begin van het bewijs). De integraal waarvan je de convergentie in deze stelling aan het onderzoeken bent, is dus (per definitie van g!) precies de limiet van g(x) met x naar oneindig, voor zover deze limiet bestaat. Het feit dat deze limiet bestaat, werd daarvoor verzekerd: g is immers monotoon stijgend maar naar boven begrensd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 december 2009 - 21:57

Dat helpt me enorm verder, waarvoor dank!

Mss een detail, maar ik blijf erover struikelen: er staat x gaande naar oneindig, en in de bovengrens van de integraal staat reeds oneindig ingevuld, terwijl er geen sprake is van x?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2009 - 22:04

Dat is dan ook waar de limiet aan gelijk is... Je verwacht x in het voorschrift van g (en daar staat die ook), niet in de uitkomst van de limiet...

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 december 2009 - 22:09

Ik zie het: de x= :eusa_whistle: is ingevuld. De ](*,) invullen mag toch enkel als slechts één van de grenzen naar ](*,) streeft, niet?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2009 - 22:12

Wat bedoel je met "invullen"? Ik volg niet helemaal... Oneindig in een grens is niet meer dan een notatie voor een oneigenlijke integraal, die gedefinieerd is als limiet van een "gewone" integraal op een gesloten interval. De integraal helemaal rechts in m'n vorig bericht, is dus per definitie de limiet van g(x) voor x naar oneindig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 december 2009 - 22:16

Ik doelde op opmerking 7.1.7, dat bedoel ik met 'invullen'. Op het eerste gezicht leek die opmerking een beetje tegenstrijdig met de definitie, maar dat is niet zo omdat de definitie uitgaat van slechts één grens gaande naar :eusa_whistle:.

Dat klopt toch?

Veranderd door In fysics I trust, 20 december 2009 - 22:16

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2009 - 22:23

Ja; indien beide grenzen oneindig zouden zijn, heb je ook twee limieten: een voor elke grens.
Wat er in 7.1.7 genoteerd staat, bestaat ook: dit wordt de hoofdwaarde genoemd, zie hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 december 2009 - 22:27

Bedankt, dat verduidelijkt het zaakje weer een pak (wiskunde blijkt soms toch logisch) :eusa_whistle:
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2009 - 22:31

Oké, graag gedaan :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 december 2009 - 22:47

Sorry dat ik erop terugkom hoor, maar waarom moet er in voorbeeld 7.1.8 onder het deeltje 'Als n<1, dan convergeert de integraal...' geen limiet staan? Als je nu b invult, krijg je toch een onbepaaldheid? Net zoals de uitdrukking 1/(1/0) onbepaald is, maar in 1/(1/x) de limiet voor x gaande naar 0 wel bestaat en 0 is?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2009 - 22:59

Die limiet zit in die notatie verstopt, het is immers een oneigenlijke integraal.

Als je

LaTeX

noteert, dan is dit ook notatie voor

LaTeX

Zo is de integraal waar jij naar verwijst niets anders dan limiet van c naar b, met c als bovengrens. Bestudeer definitie 7.1.1 eens goed.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures