Bedoel je dat je niet begrijpt waarom g monotoon en begrensd is? Het monotoon zijn volgt uit de voorwaarden die werden gesteld in het begin van de stelling en de begrensdheid volgt uit de convergentie van de integraal
OK, de stelling heeft de bedoeling om een convergentiecriterium op te stellen voor oneigenlijke integralen van de eerste soort.
Om het criterium te kunnen toepassen, moet de functie continu zijn over het integratieoverval. Het criterium houdt in dat we een breuk van de volgende gedaante moeten vinden: [url=http://java%20script:void(0);]java script:void(0);[/url] en dat er een b moet bestaan waarvoor de functiewaarde vanaf die b, kleiner blijft dan de breuk die we net hebben gedefinieerd. Als voorwaarde wordt er gesteld dat die b verder ligt dan het beginpunt van het integratie-interval (=a), m>0 en [url=http://java%20script:void(0);]java script:void(0);[/url].
Dan wordt er een functie g genomen en die wordt volgens Möbius opgedeeld in het deel van de ondergrens van het integratie-interval tot aan b, vanaf waar de functiewaarde kleiner blijft dan de breuk. Dat begrijp ik. In de volgende lijn worden de gegevens toegepast in de redenering. Dat begrijp ik ook nog. Dat 'deze laatste integraal' convergent is wegens het voorbeeld erboven, begrijp ik ook. Bijgevolg is g begrensd: in orde. We hebben nu aangetoond dat g én monotoon is én begrensd is. M.a.w. al het nodige is verzameld om de stelling te bewijzen.
Alleen zie ik niet waarom die limiet van g(x) bestaat zodat die gelijk is aan de integraal die er staat.
Eén stap begrijp ik dus niet (wel de cruciale).
Wil iemand zo goed zijn me nogmaals te helpen? Weerom bedankt voor jullie hulp en geduld!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Kijk naar de definitie van g(x), net na "Stel" (begin van het bewijs). De integraal waarvan je de convergentie in deze stelling aan het onderzoeken bent, is dus (per definitie van g!) precies de limiet van g(x) met x naar oneindig, voor zover deze limiet bestaat. Het feit dat deze limiet bestaat, werd daarvoor verzekerd: g is immers monotoon stijgend maar naar boven begrensd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Mss een detail, maar ik blijf erover struikelen: er staat x gaande naar oneindig, en in de bovengrens van de integraal staat reeds oneindig ingevuld, terwijl er geen sprake is van x?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Wat bedoel je met "invullen"? Ik volg niet helemaal... Oneindig in een grens is niet meer dan een notatie voor een oneigenlijke integraal, die gedefinieerd is als limiet van een "gewone" integraal op een gesloten interval. De integraal helemaal rechts in m'n vorig bericht, is dus per definitie de limiet van g(x) voor x naar oneindig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Ik doelde op opmerking 7.1.7, dat bedoel ik met 'invullen'. Op het eerste gezicht leek die opmerking een beetje tegenstrijdig met de definitie, maar dat is niet zo omdat de definitie uitgaat van slechts één grens gaande naar :eusa_whistle: .
Dat klopt toch?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Sorry dat ik erop terugkom hoor, maar waarom moet er in voorbeeld 7.1.8 onder het deeltje 'Als n<1, dan convergeert de integraal...' geen limiet staan? Als je nu b invult, krijg je toch een onbepaaldheid? Net zoals de uitdrukking 1/(1/0) onbepaald is, maar in 1/(1/x) de limiet voor x gaande naar 0 wel bestaat en 0 is?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.