Wetenschapsforum

Vraag:

A block of mass M is connected to a spring of mass m and oscillates in simple harmonic motion on a horizontal, frictionless track. The force constant of the spring is k, and the equilibrium length is l. Assume all portions of the spring oscillate in phase and the velocityof a segment dx is proportional to the distance x from the fixed end; that is . Also notice that the massof a segment of the spring .

(1) Find the kinetic energy of the system when the block has a speed v.

(2) Find the period of the oscillation.

Figuur:



Wat ik al heb.

Nog niets, iemand zou me een duwtje in de rug moeten geven.

Lukt je dit wel voor een systeem met massaloze veer?

Lukt je dit wel voor een systeem met massaloze veer?

Ja, dan geldt voor de kinetische energie: . Voor de periode:

Hmm, ik beschouw nu de kinetische energie van een klein stukje van de veer

Mag ik dan zeggen

Ik denk dat ik een foutje maakte. Zo beter?

Het antwoord dat je geeft voor de kinetische energie is correct voor de bijdrage van de veer, je mag natuurlijk niet vergeten de kinetische energie van het blok erbij op te tellen.

Wat verandert er aan de periode? Voor een massaloze veer geldt (ik geef deze onconventionele afleiding voor een reden, je zal later zien waarom):
.

Hieruit volgt:
.

Dit kan geïntegreerd worden (beginvoorwaarde: x=0 op t=0):
Even uitwerken:
en uiteindelijk
De periode is dan degene die je inderdaad al gaf. Je mag zelf als oefening nagaan dat je bij een willekeurige beginvoorwaarde gewoon de volledige gekende oplossing kan vinden, met cosinnusen én sinussen.

Voor de veer met massa is er natuurlijk niet veel meer aan de hand. Er geldt
.

Nu kan je normaalgezien de periode zelf vinden, maar laat het vooral weten wanneer iets niet lukt.

De methode die we hier gebruikten om de dynamica op te lossen, door te steunen op het bestaan van een eerste integraal (een grootheid die behouden blijft langs de oplossingen), is een zeer krachtige methode 'in het algemeen': door te steunen op deze integraal hebben we 1 integratie minder moeten doen (1 in plaats van 2).

eendavid schreef:Het antwoord dat je geeft voor de kinetische energie is correct voor de bijdrage van de veer, je mag natuurlijk niet vergeten de kinetische energie van het blok erbij op te tellen.

Wat verandert er aan de periode? Voor een massaloze veer geldt (ik geef deze onconventionele afleiding voor een reden, je zal later zien waarom):

\(\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}kx^2=E\)

.

Hieruit volgt:

\(\frac{dx}{dt}=\sqrt{2E-\frac{k}{M}x^2}\)

.

Dit kan geïntegreerd worden (beginvoorwaarde: x=0 op t=0):

\(\int_0^x \frac{dX}{\sqrt{2E-\frac{k}{M}X^2}}=t\)

Ik zie niet direct in waarom geldt:
,

waarom niet ?

Erg dank om te antwoorden in ieder geval.

De x'en zijn aan één kant gebracht, waardoor de vierkantswortel links in de noemer komt te staan. Waarom zou jij een M in de noemer bijvoegen?

waarom niet

\(\int_0^x \frac{dX}{\sqrt{\frac{2E}{M}-\frac{k}{M}X^2}}=t\)

Lijkt mij ook juist, zal wel een foutje van eendavid zijn. Missen is menselijk :eusa_whistle:

Ik zou hetzelfde zeggen als upsilon, vermoedelijk een typfout.

EDIT: Xenion was blijkbaar gelijktijdig aan het typen met mij.

Ruben01 schreef:Ik zou hetzelfde zeggen als upsilon, vermoedelijk een typfout.

EDIT: Xenion was blijkbaar gelijktijdig aan het typen met mij.

Ik snap de opmerking over de M niet, eendavid heeft het goed uitgerekend.

Ik snap de opmerking over de M niet, eendavid heeft het goed uitgerekend.

Als je de vergelijking oplost naar dx/dt moet je E ook nog delen door M.

(Hij heeft E wel *2 gedaan maar is gewoon /M vergeten)

Ok,

Stel: E = Av² + Bx²;

dan geldt na rekenwerk:
dus
Hmm, nu zien we ook duidelijk dat als m << M dat Heel erg bedankt allemaal !!!

Xenion schreef:Als je de vergelijking oplost naar dx/dt moet je E ook nog delen door M.

(Hij heeft E wel *2 gedaan maar is gewoon /M vergeten)

Inderdaad, typefout, dus.

Fout van mij inderdaad. En het antwoord is inderdaad correct: we zien dat de veer een effectieve massa m/3 heeft.