Aanpassen van integratiegrenzen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Aanpassen van integratiegrenzen

Ik heb de volgende integraal:
\( I = \int_{} \int_D \exp \left( \frac{x-y}{x+y} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y\)
met
\( D: \; x=0, \; y = 0, \; x+y=1\)
.

D is dus, m.a.w. de driehoek met hoekpunten (0,0), (0,1) en (1,0).

Ik voer de substitutie
\( u= x-y, v = x+y\)
in.

Dan hebben we de transformatiematrix
\( \vec{T}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \; \; \; \frac{1}{2} & \; -\frac{1}{2} \end{array} \right] \)
met bijbehorende Jacobiaan
\( J(u,v) = - \frac{1}{2}\)
.

De integraal is dan gelijk aan:
\( I = \int_{} \int_D \exp \left( \frac{x-y}{x+y} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y = \int_{} \int_{D^*} \frac{1}{2}e^{\frac{u}{v}} \mbox{d}u \mbox{d}v \)
.

Tot daar alles goed, behalve dat ik D* niet kan bepalen... D* is het beeld van D onder
\( \vec{T}^{-1} \)
.

De inverse van de transformatie heeft als matrix
\( \vec{T}^{-1}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ \; \; \; 1} & \; -1 \end{array} \right] \)
of
\( x= u + v, y = u-v\)
.

Als ik daarin de grenzen van D invul,
\( D: \; x=0, \; y = 0, \; x+y=1\)
, kom ik
\( D^*: \; u=-v, \; u = v, \; u=\frac{1}{2}\)
uit, terwijl het volgens mijn boek
\( D^*: \; u=-v, \; u = v, \; v=1\)
moet zijn.

Kan iemand mij helpen? Alvast bedankt!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Als u = x-y en v = x+y, dan is x = (u+v)/2 en y = (v-u)/2:

- uit x = 0 volgt u = -v,

- uit y = 0 volgt u = v,

- uit x+y = 1 volgt v = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

TD schreef:Als u = x-y en v = x+y, dan is x = (u+v)/2 en y = (v-u)/2:

- uit x = 0 volgt u = -v,

- uit y = 0 volgt u = v,

- uit x+y = 1 volgt v = 1.
Maar dan haal je u en v toch uit de vergelijkingen van T en niet van T-1?

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Ik weet niet hoe jij je T precies gedefinieerd hebt, maar daar doe je dan toch iets mis. Ik zie bijvoorbeeld T met halfjes als elementen, maar in geen enkel verband (x(u,v) en y(u,v) of u(x,y) en v(x,y)) zie ik die factoren 1/2 in jouw bericht. Dus daar schort iets... Met de gegeven u = x-y en v = x+y, volgen x en y in functie van u en v zoals ik hierboven gaf.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Ik weet niet hoe jij je T precies gedefinieerd hebt, maar daar doe je dan toch iets mis. Ik zie bijvoorbeeld T met halfjes als elementen, maar in geen enkel verband (x(u,v) en y(u,v) of u(x,y) en v(x,y)) zie ik die factoren 1/2 in jouw bericht. Dus daar schort iets... Met de gegeven u = x-y en v = x+y, volgen x en y in functie van u en v zoals ik hierboven gaf.
T is de transformatie zodat een vector (x,y) na transformatie de vector T(x,y) = (u,v) wordt. Aangezien ik de substitutie
\( u= x-y, v = x+y\)
doorvoer, geldt dat als u = x-y en v = x+y, dan is x = (u+v)/2 en y = (v-u)/2 en dus
\( \vec{T}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \; \; \; \frac{1}{2} & \; -\frac{1}{2} \end{array} \right] \)
...

Of is dat fout?

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

geldt dat als u = x-y en v = x+y, dan is x = (u+v)/2 en y = (v-u)/2
Dit klopt alleszins en daarmee vond ik ook de gezochte grenzen, maar je draait T net om (of ik begrijp je definitie van T niet goed).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Dit klopt alleszins en daarmee vond ik ook de gezochte grenzen, maar je draait T net om (of ik begrijp je definitie van T niet goed).
Ik denk niet dat ik T en T-1 omdraai, anders zou ik al een verkeerde waarde voor de Jacobiaan uitkomen...

Wel maakte ik in mijn laatste bericht een foutje, het moet zijn T(u,v) = (x,y).

En dus, als u=x-y en v=x+y dan is de matrix T gelijk aan de matrix
\(\left[ \begin{array}{cc} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \)
en dan volgt uit x = (u+v)/2 en y = (v-u)/2 dat in dit geval toch geldt dat
\( \vec{T}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \; \; \; \frac{1}{2} & \; -\frac{1}{2} \end{array} \right] \)
?

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Nee, dan zou je voor y krijgen u/2-v/2 en je wil v/2-u/2.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Nee, dan zou je voor y krijgen u/2-v/2 en je wil v/2-u/2.
:eusa_whistle: ](*,) ;)

Ok, stom overzicht (v en u van plaats wisselen), dan hebben we de transformatiematrix
\( \vec{T}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right] \)
met bijbehorende Jacobiaan
\( J(u,v) = \frac{1}{2}\)
.

Dit neemt niets weg van de integraal, want daar komt de absolute waarde van de Jacobiaan in voor.

Dan gaan we verder en berekenen we T-1,
\( \vec{T}^{-1}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] \)
waaruit volgt dat x = u-v en y = u+v.

Voor
\( D: \; x=0, \; y = 0, \; x+y=1\)
geldt dus dat
\( D^*: \; u=v, \; u = -v, \; u=1/2\)
...

Ik kom dus nog steeds niet de juiste oplossing uit. Ik voel wel dat ik dichter bij het juiste antwoord kom ;) !

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Hoe kom jij precies tot die waarden bij D*?

Of wat lukt er niet als je dit probeert?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

TD schreef:Hoe kom jij precies tot die waarden bij D*?

Of wat lukt er niet als je dit probeert?
Ik kom bij mijn grenzen van D* door het volgende te doen. Ik heb:
\( \vec{T}^{-1}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] \)
waaruit volgt dat x = u-v en y = u+v.

-> voor x=0 geldt 0=u-v en dus u=v

-> voor y=0 geldt 0=u+v en dus u=-v

-> voor x+y=1 geldt u-v+u+v=1 en dus u=1/2

Fout dus.

En er loopt niets fout als ik doe wat jij doet in die andere post, maar zoals ik al vroeg:
Maar dan haal je u en v toch uit de vergelijkingen van T en niet van T-1?
Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Dan gaan we verder en berekenen we T-1,
\( \vec{T}^{-1}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] \)
waaruit volgt dat x = u-v en y = u+v.
Nu valt het me pas op, dit kan natuurlijk niet! Als T je x en y levert in functie van u en v, dan geeft T-1 je u en v in functie van x en y. Hieruit volgt dus u = x-y en v = x+y, maar daar begon je mee! De nuttige relatie is de omgekeerde, x = (u+v)/2 en y = (v-u)/2, die je ook al had, om de grenzen voor u en v te vinden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Nu valt het me pas op, dit kan natuurlijk niet! Als T je x en y levert in functie van u en v, dan geeft T-1 je u en v in functie van x en y. Hieruit volgt dus u = x-y en v = x+y, maar daar begon je mee! De nuttige relatie is de omgekeerde, x = (u+v)/2 en y = (v-u)/2, die je ook al had, om de grenzen voor u en v te vinden.
Inderdaad, dan komt het uit! Sorry voor het wakker houden op een nachtelijk uur, en - à la S.O.S. Piet - wat hebben we nu geleerd?

T(u,v) = (x,y) ofwel T geeft in functie van u en v, x en y.

T-1(x,y) = (u,v) ofwel T-1 geeft in functie van x en y, u en v.

Sla ze niet door elkaar en het zou moeten goed gaan!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Ik had het al eerder kunnen zien, maar ik was dus in de war met jouw T's, nu begrijp ik ook waarom ](*,)

Goed, succes ermee - genoeg voor vandaag :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Aanpassen van integratiegrenzen

Nog één iets, de integraal uit mijn eerste bericht
Ik heb de volgende integraal:
\( I = \int_{} \int_D \exp \left( \frac{x-y}{x+y} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y\)
met
\( D: \; x=0, \; y = 0, \; x+y=1\)
.
wordt dan
\( I = \frac{1}{2} \int_0^1 \mbox{d}v \int_{-v}^v e^{\frac{u}{v}} \mbox{d}u = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{e^{1} - e^{-1}}{v} \mbox{d}v = \frac{e^{1} - e^{-1}}{2} \int_0^1 \frac{1}{v} \mbox{d}v\)


en dat lijkt niet te kloppen...

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Reageer