Ik heb de volgende integraal:
\( I = \int_{} \int_D \exp \left( \frac{x-y}{x+y} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y\)
met
\( D: \; x=0, \; y = 0, \; x+y=1\)
.
D is dus, m.a.w. de driehoek met hoekpunten (0,0), (0,1) en (1,0).
Ik voer de substitutie
\( u= x-y, v = x+y\)
in.
Dan hebben we de transformatiematrix
\( \vec{T}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \; \; \; \frac{1}{2} & \; -\frac{1}{2} \end{array} \right] \)
met bijbehorende Jacobiaan
\( J(u,v) = - \frac{1}{2}\)
.
De integraal is dan gelijk aan:
\( I = \int_{} \int_D \exp \left( \frac{x-y}{x+y} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y = \int_{} \int_{D^*} \frac{1}{2}e^{\frac{u}{v}} \mbox{d}u \mbox{d}v \)
.
Tot daar alles goed, behalve dat ik D* niet kan bepalen... D* is het beeld van D onder
\( \vec{T}^{-1} \)
.
De inverse van de transformatie heeft als matrix
\( \vec{T}^{-1}(u,v): \; \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ \; \; \; 1} & \; -1 \end{array} \right] \)
of
\( x= u + v, y = u-v\)
.
Als ik daarin de grenzen van D invul,
\( D: \; x=0, \; y = 0, \; x+y=1\)
, kom ik
\( D^*: \; u=-v, \; u = v, \; u=\frac{1}{2}\)
uit, terwijl het volgens mijn boek
\( D^*: \; u=-v, \; u = v, \; v=1\)
moet zijn.
Kan iemand mij helpen? Alvast bedankt!
Denis