Injectieve lineaire transformatie

Cerium

Hallo,

Ik ben een oefening aan het maken waarin ik gebruik maak van een eigenschap die ik niet bewezen krijg. Er wordt gevraagd te bewijzen dat een aantal vectoren lineair onafhankelijk zijn als en slechts als hun beelden onder een injectieve lineaire transformatie lineair onafhankelijk zijn. Met injectieve lineaire transformatie bedoel ik dat het beeld van een bepaalde vector onder de transformatie uniek is. (Gebruik ik het woord injectief juist in deze context?)

Dus met andere woorden:

Stel dat de lineaire transformatie een vector x afbeeldt op een unieke T(x). En stel dat ik een reeks vectoren (x1, ..., xn) heb waarvan ik weet dat:

c1.T(x1) + ... + cn.T(xn) = 0

een unieke oplossing heeft. (De beelden van de vectoren zijn dus lineair onafhankelijk). Dan kan ik, omdat het gaat over een injectieve lineaire transformatie, ook schrijven dat:

c1.x1 + ... + cn.xn = 0

dezelfde oplossing heeft, namelijk de nuloplossing. Dus de vectoren zijn lineair onafhankelijk. Nu begrijp ik niet dat je mag zeggen dat de twee uitdrukkingen dezelfde oplossing hebben omdat het gaat over een injectie. Kan iemand hier een verklaring/bewijs voor geven?

Bedankt

TD

Injectief wil zeggen dat als T(x) = T(y), dat dan ook x = y. Bedoel je dat wel...?

Indien voor elke x, T(x) uniek is en ook omgekeerd (1-tot-1), heb je een bijectie.

Cerium

Spreek je niet van een bijectie als elke vector b in een vectorruimte W het beeld is een een unieke vector x in V voor een lineaire transformatie van V naar W?

TD

Een afbeelding is bijectief als de afbeelding injectief én surjectief is. Jouw stelling gaat over een injectieve afbeelding, maar je omschrijving daarvan was me niet helemaal duidelijk... Een afbeelding (of functie) f beeldt x sowieso af op een unieke vector f(x). Injectief wil zeggen dat verschillende vectoren, ook verschillende beelden hebben; dus f(x) = f(y) kan alleen als x = y.

De stelling is dan:

f:V->W injectief <=> beeld van een stel lineair onafhankelijk vectoren (in V), is lineair onafhankelijk (in W).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Injectieve lineaire transformatie

Injectieve lineaire transformatie

Re: Injectieve lineaire transformatie

Re: Injectieve lineaire transformatie

Re: Injectieve lineaire transformatie