Wetenschapsforum

Hoe los je een integraal op waarvan de noemer veel hogere machten van x bevat dan de teller?

(En waarbij de noemer niet ontbindbaar is op het eerste gezicht)?

vb.

Heb je deze integraal nodig voor een opgave of verzin je hem ter plekke? Je krijgt namelijk een monster van een uitdrukking.

Zijn daar toevallig grenzen bij?

In theorie is elke veelterm ontbindbaar in termen van de eerste graad en termen van de tweede graad met discriminant<0 en dus is het splitsbaar in partieelbreuken en dus op te lossen.

Ik vroeg het me af (ter plekke verzonnen dus), maar het was vooral een noemer met even exponent, vermeerderd met een constante die me intrigeert. Hoe splits je in zulk geval?

Ik vroeg het me af (ter plekke verzonnen dus), maar het was vooral een noemer met even exponent, vermeerderd met een constante die me intrigeert. Hoe splits je in zulk geval?

Terzijde, is een macht met een oneven exponent.

Over het breuksplitsen: zoek de nulpunten en ontbind in factoren. Makkelijk zal dat niet altijd gaan.

oneven=>dat lukt nog wel

even=>de kromme ligt volledig boven de x-as en lijkt geen nulpunten te hebben (vb. y=x^6+3)

Wat doe je daar aan?

Ontbinden in factoren van de tweede graad (met negatieve discriminant); in het algemeen geen pretje.

OK, dan ga daar niet verder op gaan proberen, want na een A4'tje rekenwerk, ben ik het beu of heb ik een rekenfout gemaakt :eusa_whistle:

Soms kan het wat sneller door wat trucjes te gebruiken.

Bij x⁶+3 weet je (als je complexe getallen kent) dat [plusmin]i 3^1/6 nulpunten zijn, dus (x²+3^1/3) een factor in de ontbinding. Uitvoeren van de deling levert dan:
In de nieuwe factor ontbreken de oneven coëfficiënten, de hoogstegraadscoëfficiënt is 1, de laatste is het kwadraat van 3^1/3; je kan voorstellen:
Uitwerken levert eenvoudig a = :eusa_whistle: 3^2/3, dus:
Dan kan je gaan splitsen in partieelbreuken ](*,)

zou je kunnen beschouwen als een som van twee derdemachten.
Hier wordt dat dus . Die laatste factor kun je dan verder ontbinden.

De uiteindelijke uitdrukking wordt .

EDIT: Ai, net te laat.

Maar met een nuttige toevoeging: voor het eerste deel is het gebruiken van die formule voor een som van derdemachten natuurlijk veel sneller en dus aan te raden; niet aan gedacht daarnet...

Allebei bedankt!

Ik kan dus steeds een complexe wortel zoeken en combineren met zijn complex toegevoegde om een tweedegraadsterm af te zonderen.

Vervolgens partieelbreuken, ok dat begrijp ik.

Inderdaad, of je kunt (in het geval van even machten) soms een ontbindingsformule gebruiken.

Nogmaals, dit zijn geen leuke berekeningen, je komt haast altijd vieze getallen uit en als het niet per se nodig is om de integraal met de hand uit te rekenen, gebruik dan Wolfram Alpha (maar wees kritisch met de output, die niet altijd in de exacte of in de kortste vorm staat).

OK, bedankt (het ging enkel over de theoretische wijze waarop ik de integraal zou kunnen oplossen). En dat hebben jullie nu prachtig uitgelegd!

Inderdaad, of je kunt (in het geval van even machten) soms een ontbindingsformule gebruik.

Dat kan ook voor oneven machten.