Relatie, equivalentie en orde

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 25-12-'09, 10:15

upsilon

Berichten: 93

Relatie, equivalentie en orde

Vraag : Zij R een orderelatie op X. Neem aan dat X zowel een kleinste en een grootste element heeft. We zien
\(\emptyset\)
als een deelverzameling van X.

a) Is inf
\(\emptyset\)
het kleinste of het grootste element van X? Bewijs uw antwoord.

b) Zelfde vraag voor sup
\(\emptyset\)
.

Ik heb echt geen idee hoe ik moet beginnen... je weet toch niets van die specifieke orderelatie R?
BABBAGE
Omhoog

Bericht 25-12-'09, 11:46

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Relatie, equivalentie en orde

Welke eigenschappen heeft een orderelatie, en hoe zou je die hier toe kunnen passen?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 25-12-'09, 13:28

upsilon

Berichten: 93

Re: Relatie, equivalentie en orde

Welke eigenschappen heeft een orderelatie, en hoe zou je die hier toe kunnen passen?
Een orderelatie is reflexief, assymmetrisch en transitief.

Maar 'k zit vast met het volgende feit: om te bewijzen dat iets kleinste of grootste is, moet ik een element kunnen nemen uit die verzameling maar
\(\emptyset\)
is leeg, dus ik kan er geen elementen uit nemen...
BABBAGE
Omhoog

Bericht 25-12-'09, 15:02

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Relatie, equivalentie en orde

Hint: de relatie "is deelverzameling van" is ook een orderelatie, dus hoe zou je dat hier toe kunnen passen?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 26-12-'09, 16:44

upsilon

Berichten: 93

Re: Relatie, equivalentie en orde

ok, ik denk dat ik het heb

Stel
\(m \in X = inf \emptyset\)
, dan geldt vanwege de definitie van infinum:
\(\forall x \in \emptyset : (m,x) \in R\)
en
\((\forall b \in X : (\forall x \in \emptyset : (b,x) \in R) \Rightarrow (b,m) \in R)\)
.

Aangezien de eerste voorwaarde altijd voldaan is, moet alleen voorwaarde twee voldaan worden. Bijgevolg geldt: m = sup(X).

b is uiteraard analoog.
BABBAGE
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”