Kan iemand me hiervoor een regeltje geven want dit snap ik niet helemaal.
Neem nu bvb. de afbeelding
\(\vec{T}: \; \left\{ \begin{array}{cc} x = & \int_0^{2u+\pi v} e^{-t^2} \; \mbox{d}t \\ y = & \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t \end{array} \)
Gevraagd is de differentiaal van de afbeelding
\(\vec{T}\)
in
\(\vec{p}\)
in het punt
\(\vec{q}\)
, dus
\(\mbox{d}\vec{T}| _{\vec{p}} (\vec{q})\)
.
We berekenen eerst de differentiaal van de afbeelding
\(\mbox{d}\vec{T}|_{(u,v)}\)
, en daar zit ik meteen vast. Eenmaal je die hebt substitueer je de vector
\(\vec{p}\)
in de differentiaal van de afbeelding en bekom je
\(\mbox{d}\vec{T}| _{\vec{p}}\)
. Daarna vermenigvuldig je deze differentiaal in
\(\vec{p}\)
met
\(\vec{q}\)
en bekom je
\(\mbox{d}\vec{T}| _{\vec{p}} (\vec{q})\)
. Maar de eerste stap lukt al niet... Ik zit namelijk vast met partiële afgeleiden van integralen.
\(\mbox{d}\vec{T}|_{(u,v)} = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u}(u,v) & \frac{\partial x}{\partial v}(u,v) \\ \frac{\partial y}{\partial u}(u,v) & \frac{\partial y}{\partial v}(u,v) \end{array} \right] \)
Kan iemand me misschien een regeltje geven voor het afleiden van integralen? Of gewoon eerst de integraal uitrekenen en dan afleiden?
Ik dacht misschien aan
\(\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int^{2u+\pi v}_0 e^{-t^2} \mbox{d}t = e^{-(2u + \pi v)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial u}(2u + \pi v) - e^{-(0)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial u}0 = 2 e^{-(2u + \pi v)^2} \)
.
En dat zou betekenen dat
\(\frac{\partial x}{\partial v}(u,v) = \frac{\partial}{\partial v} \int^{2u+\pi v}_0 e^{-t^2} \mbox{d}t = e^{-(2u + \pi v)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial v}(2u + \pi v) - e^{-(0)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial v}0 = \pi2 e^{-(2u + \pi v)^2} \)
.
Ik dacht dus dat mijn regeltje klopte, want deze komen overeen met de oplossing in mijn handboek.
Maar verder lijkt mijn regeltje niet meer te kloppen, want de volgende bewerking komt verkeerd uit...
\(\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t \neq u \sin (vu) \cdot 1 - 0 \)
Kan iemand mij dus helpen met te zeggen hoe men vlot de afgeleide van een integraal berekent?
Alvast bedankt!
Denis