Partiële afgeleide van integraal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 689

Parti

Kan iemand me hiervoor een regeltje geven want dit snap ik niet helemaal.

Neem nu bvb. de afbeelding
\(\vec{T}: \; \left\{ \begin{array}{cc} x = & \int_0^{2u+\pi v} e^{-t^2} \; \mbox{d}t \\ y = & \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t \end{array} \)
Gevraagd is de differentiaal van de afbeelding
\(\vec{T}\)
in
\(\vec{p}\)
in het punt
\(\vec{q}\)
, dus
\(\mbox{d}\vec{T}| _{\vec{p}} (\vec{q})\)
.

We berekenen eerst de differentiaal van de afbeelding
\(\mbox{d}\vec{T}|_{(u,v)}\)
, en daar zit ik meteen vast. Eenmaal je die hebt substitueer je de vector
\(\vec{p}\)
in de differentiaal van de afbeelding en bekom je
\(\mbox{d}\vec{T}| _{\vec{p}}\)
. Daarna vermenigvuldig je deze differentiaal in
\(\vec{p}\)
met
\(\vec{q}\)
en bekom je
\(\mbox{d}\vec{T}| _{\vec{p}} (\vec{q})\)
. Maar de eerste stap lukt al niet... Ik zit namelijk vast met partiële afgeleiden van integralen.
\(\mbox{d}\vec{T}|_{(u,v)} = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u}(u,v) & \frac{\partial x}{\partial v}(u,v) \\ \frac{\partial y}{\partial u}(u,v) & \frac{\partial y}{\partial v}(u,v) \end{array} \right] \)
Kan iemand me misschien een regeltje geven voor het afleiden van integralen? Of gewoon eerst de integraal uitrekenen en dan afleiden?

Ik dacht misschien aan
\(\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int^{2u+\pi v}_0 e^{-t^2} \mbox{d}t = e^{-(2u + \pi v)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial u}(2u + \pi v) - e^{-(0)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial u}0 = 2 e^{-(2u + \pi v)^2} \)
.

En dat zou betekenen dat
\(\frac{\partial x}{\partial v}(u,v) = \frac{\partial}{\partial v} \int^{2u+\pi v}_0 e^{-t^2} \mbox{d}t = e^{-(2u + \pi v)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial v}(2u + \pi v) - e^{-(0)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial v}0 = \pi2 e^{-(2u + \pi v)^2} \)
.

Ik dacht dus dat mijn regeltje klopte, want deze komen overeen met de oplossing in mijn handboek.

Maar verder lijkt mijn regeltje niet meer te kloppen, want de volgende bewerking komt verkeerd uit...
\(\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t \neq u \sin (vu) \cdot 1 - 0 \)
Kan iemand mij dus helpen met te zeggen hoe men vlot de afgeleide van een integraal berekent?

Alvast bedankt!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Parti

HosteDenis schreef:Maar verder lijkt mijn regeltje niet meer te kloppen, want de volgende bewerking komt verkeerd uit...
\(\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t \neq u \sin (vu) \cdot 1 - 0 \)
Of mag ik zeggen dat
\(\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t = \int_0^{u} \frac{\partial}{\partial u} \left( u \sin{(vt)} \right) \; \mbox{d}t = \int_0^{u} \sin{(vt)} \; \mbox{d}t \)
Blijkbaar niet, want het komt weer niet uit. Het juiste antwoord is wel
\(\int_0^{u} \sin{(vt)} \; \mbox{d}t + u \sin (vu)\)
...

Dus misschien mag men zeggen dat
\(\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t + \int_0^{u} \frac{\partial}{\partial u} \left( u \sin{(vt)} \right) \; \mbox{d}t \)
Alle hulp geapprecieerd!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Parti

Ok, stoppen met gokken, daar los ik toch niets mee op :eusa_whistle: .

Ik vond ondertussen een zekere regel van Leibniz (geen idee waarom die niet in mijn boek staat, als we die blijkbaar moeten kennen voor de oefeningen):
\(\frac{d}{d\alpha}\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(x,\alpha)\,dx = \frac{d b(\alpha)}{d \alpha}\,f(b(\alpha),\alpha)-\frac{d a(\alpha)}{d \alpha}\,f(a(\alpha),\alpha)+ \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}\frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,dx\)
Dat zou dan betekenen dat
\(\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t = 1u \sin(vu) \; \; - 0 \; \; + \int_0^{u} \frac{\partial}{\partial u} \left( u \sin{(vt)} \right) \; \mbox{d}t = u \sin(vu) + \int_0^{u} \sin{(vt)} \; \mbox{d}t \)
wat klopt met mijn boek.

Even de formule toegepast op alle partiele afgeleiden in de differentiaal van de afbeelding:
  1. \(\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int^{2u+\pi v}_0 e^{-t^2} \mbox{d}t = 2e^{-(2u+ \pi v)^2} - 0 + \int^{2u+\pi v}_0 \frac{\partial}{\partial u} e^{-t^2} \mbox{d}t = 2e^{-(2u+ \pi v)^2}\)
  2. \(\frac{\partial x}{\partial v}(u,v) = \frac{\partial}{\partial v} \int^{2u+\pi v}_0 e^{-t^2} \mbox{d}t = \pi e^{-(2u + \pi v)^2} - 0 + \int^{2u+\pi v}_0 \frac{\partial}{\partial v} e^{-t^2} \mbox{d}t = \pi e^{-(2u + \pi v)^2} \)
  3. \(\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial}{\partial u} \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t = 1u \sin(vu) \; \; - 0 \; \; + \int_0^{u} \frac{\partial}{\partial u} \left( u \sin{(vt)} \right) \; \mbox{d}t = u \sin(vu) + \int_0^{u} \sin{(vt)} \; \mbox{d}t \)
  4. \(\frac{\partial y}{\partial v}(u,v) = \frac{\partial}{\partial v} \int_0^{u} u \sin{vt} \; \mbox{d}t = \int_0^{u} \frac{\partial}{\partial u} \left( u \sin{(vt)} \right) \; \mbox{d}t = \int_0^{u} ut \cos{(vt)} \; \mbox{d}t \)
Wat allemaal klopt met mijn boek. Dan is
\(\mbox{d}\vec{T}|_{(u,v)} = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u}(u,v) & \frac{\partial x}{\partial v}(u,v) \\ \frac{\partial y}{\partial u}(u,v) & \frac{\partial y}{\partial v}(u,v) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 2e^{-(2u+ \pi v)^2} & \pi e^{-(2u + \pi v)^2} \\ u \sin(vu) + \int_0^{u} \sin{(vt)} \; \mbox{d}t & \int_0^{u} ut \cos{(vt)} \; \mbox{d}t \end{array} \right]\)
en dus met
\(\vec{p} = (\frac{\pi}{2},-1)\)
geldt
\(\mbox{d}\vec{T}|_{\vec{p}} = \left[ \begin{array}{cc} 2 & \pi \\ \frac{\pi}{2} \sin(-\frac{\pi}{2}) + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{(-t)} \; \mbox{d}t & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2}t \cos{(-t)} \; \mbox{d}t \end{array} \right]\)
Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Parti

\(\mbox{d}\vec{T}|_{\vec{p}} = \left[ \begin{array}{cc} 2 & \pi \\ \frac{\pi}{2} \sin(-\frac{\pi}{2}) + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{(-t)} \; \mbox{d}t & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2}t \cos{(-t)} \; \mbox{d}t \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 2 & \pi \\ -\frac{\pi}{2} - 1 & \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2} \end{array} \right]\)
en dus met
\(\vec{q} = (\pi,2)\)
\(\mbox{d}\vec{T}|_{\vec{p}} (\vec{q}) = \left[ \begin{array}{cc} 2 & \pi \\ -\frac{\pi}{2} - 1 & \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \pi \\ 2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 4\pi \\ -2\pi} \end{array} \right] \)
Toch nog zelf gevonden dus... Het enige probleem zat hem in het partieel afleiden van een integraal. Dat is nu geen probleem meer, dankzij die formule van Leibniz. Toch opschrijven, dat geval!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Parti

Mooi te zien dat het zonder hulp gelukt is; fijn dat je de uitwerking toch netjes noteert: zo hebben toekomstige lezers hier nog iets aan. Voor het afleiden van een integraal heb je inderdaad de regel van Leibniz, vreemd dat jullie die niet gezien hebben als je deze opgave wel moet kunnen maken... :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Parti

Mooi te zien dat het zonder hulp gelukt is; fijn dat je de uitwerking toch netjes noteert: zo hebben toekomstige lezers hier nog iets aan. Voor het afleiden van een integraal heb je inderdaad de regel van Leibniz, vreemd dat jullie die niet gezien hebben als je deze opgave wel moet kunnen maken... :eusa_whistle:
Dat was ook waarom ik de oefening hier volledig uitwerkte, ook om te zien of ik zo nog op andere problemen stuit, dan staan die hier meteen ook.

Die regel van Leibniz staat nergens in mijn boek. Er staat wel een 'formule van Leibniz' in, maar dat is een formule gelijkend op het binomium van Newton, maar dan voor afgeleiden van een product in plaats van machten van een som. M.a.w. deze.

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Reageer