Springen naar inhoud

Spinor


  • Log in om te kunnen reageren

#1

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2009 - 13:29

Hoi,

is er een (korte) maar eenvoudige uitleg om te zeggen wat "een spinor" juist is?
Ik heb reeds gezocht op wikipedia, maar ben niet veel wijzer geworden.

Ik heb gelezen dat het een bepaalde representatie van de Lorentzgroep is. Maar is de spinor de representatie zelf of is het object dat transformeert onder de Lorentztransformatie de spinor?

En in een meer algemene settting, dus buiten de context van Lorentztransformaties?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2009 - 18:31

Misschien helpt dit je iets verder: http://www.sjsu.edu/...kins/spinor.htm
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2009 - 08:45

Ok: een (2-component)-spinor is een representatie van een 3D isotrope complexe vector.

Maar, meer algemeen: waarom is zoiets als de oplossing van de Dirac vergelijking een spinor. Daar staat "gewoon" als oplossing een LaTeX . Waarom is die oplossing een Dirac spinor. Om te zien of het een representatie is van een hoger dimensionale complexe vector lijkt me toch moeilijk.
Heeft het te maken met de invariantie onder Lorentztransformaties van de Dirac vergelijking en dus de oplossing LaTeX transformeert volgens de Lorentzgroep.
Waarschijnlijk is dit nog te beperkt, of gewoon niet juist.

#4

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2009 - 18:37

Misschien dat dit wat meer info oplevert: http://www.euclidean...pinor/index.htm
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#5

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2009 - 19:06

Hoi,

is er een (korte) maar eenvoudige uitleg om te zeggen wat "een spinor" juist is?
Ik heb reeds gezocht op wikipedia, maar ben niet veel wijzer geworden.

Ik heb gelezen dat het een bepaalde representatie van de Lorentzgroep is. Maar is de spinor de representatie zelf of is het object dat transformeert onder de Lorentztransformatie de spinor?

En in een meer algemene settting, dus buiten de context van Lorentztransformaties?



Het boek "QFT in a nutshell" van Zee heeft hier een leuke uitleg over, maar bv Srednicki heeft ook een goede uitleg.

Een deeltje wordt gezien als een irrep van de Poincare algebra. De Lie algebra van SO(3,1) blijkt isomorf te zijn met SU(2)XSU(2). Dit kun je inzien door de Lie algebra van S(3,1) zo om te schrijven dat je twee losse SU(2) algebra's krijgt. Via Hermitische conjugatie blijk je van de ene naar de andere SU(2) te gaan.

Da's fijn, want SU(2) ken je, en je weet uit de QM hoe je die irreps moet opbouwen. Ze worden gelabeled met een getalletje j wat 0,1/2,1,3/2,... kan zijn, en de dimensie van de irrep is dan 2j+1. Dus de irreps van SO(3,1) kun je labelen met twee getalletjes j en k. De j geeft als het ware "de ene SU(2) algebra" en de k geeft de andere SU(2). Dit is trouwens heel specifiek voor 4 dimensies; voor meer dimensies moet je naar de dimensionaliteit van de Clifford algebra kijken!

Een irrep van SO(3,1) kun je dus labelen als (j,k).

Nu kun je alle irreps gaan bekijken. Bijvoorbeeld, (j=0,k=0), wat we even (0,0) noemen, wordt een scalar genoemd. Wat men dan bedoelt is dat de vectorruimte waar deze irreps op werken scalars zijn. Dit is de simpelste irrep. De een na simpelste is (1/2,0) of (0,1/2). Dit is wat we Weyl spinoren noemen, respectievelijk linkshandig en rechtshandig.
Ook hier weer geldt dat we hiermee bedoelen dat de elementen van deze irreps op elementen in een vectorruimte inwerken die we spinoren noemen. Een Dirac spinor is nu de directe som van (1/2,0) en (0,1/2): (1/2,0)+(0,1/2) = (1/2,1/2). Dit is geen irrep, want het is de som van twee irreps. Het is de spinor die in de Diracvergelijking voorkomt, en bevat inderdaad twee soorten deeltjes: elektronen en positronen. Dat de Diracvergelijking deze Dirac spinor bevat en geen Weylspinoren, komt door pariteit: onder pariteit gaat een electron over in een positron en vice versa. In representatietaal betekent dat dat je van de ene SU(2) naar de andere SU(2) gaat.

Misschien dat het hier wat duidelijker van wordt, maar ik kan je dus heel erg Srednicki en Zee aanraden om dit es door te lezen!

#6

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2009 - 19:12

Hoi,

is er een (korte) maar eenvoudige uitleg om te zeggen wat "een spinor" juist is?
Ik heb reeds gezocht op wikipedia, maar ben niet veel wijzer geworden.

Ik heb gelezen dat het een bepaalde representatie van de Lorentzgroep is. Maar is de spinor de representatie zelf of is het object dat transformeert onder de Lorentztransformatie de spinor?


De spinor is het object waar de (1/2,0) of (0,1/2) representatie van de Lorentzgroep op inwerkt. Beide noemen we vaak voor het gemak spinor, maar het zijn dus linkshandige of rechtshandige spinoren in dit geval.

Omdat beide irreps 2 dimensionaal zijn, zijn de vectorruimtes waar deze representaties op inwerken ook 2 dimensionale vectorruimtes.

Iemand als Bilal definieert bijvoorbeeld weer spinoren als de objecten waar de "basic representations of SL(2,C)" op inwerken in arxiv:hep-th/0101055, een diktaatje over supersymmetrie.

Als je dit soort dingen graag wilt begrijpen zul je dus even wat groepentheorie en zaken over Lie algebra's en Lie groepen moeten bekijken.

#7

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2009 - 20:11

Heel erg bedankt voor deze uitleg en links in ieder geval.

Ik heb reeds groepentheorie gehad, maar vooral toegepast op de opheffing van de ontaarding van energieniveaus in kristallen.
Dus de spinor was redelijk nieuw voor mij.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures