Rekenen met niet commuterende operatoren

Moderator: physicalattraction

Reageer
Berichten: 165

Rekenen met niet commuterende operatoren

ik heb twee symmetrieen voor een systeem: \(P_\mu, S_\alpha\) (generator voor translaties en en generator voor supersymmetrie respectievelijk)

Ik zou graag het volgende willen berekenen:
\(\begin{displaymath}e^{i\varepsilon_1^\alpha S_\alpha}e^{ix_\mu P_\mu}e^{i\varepsilon_2^\beta S_\beta}\end{displaymath}\)
P en S commuteren dus mag ik de eerste twee e-machten gewoon van volgorde wisselen, niet?

mag ik daarna de stukken uit de e-macht gewoon optellen? Het gaat hier over symmetrie-operatoren en geen gewone complexe getallen (S is een spinor)

Ze voldoen wel aan een bepaalde commutatierelatie, namelijk
\(\begin{displaymath}\left[\varepsilon_1^\alpha S_\alpha,S^\beta\varepsilon_{2\beta}\right] = -\varepsilon_1^\alpha (\gamma_\mu)_\alpha^\beta\varepsilon_{2\beta}P_\mu\end{displaymath}\)
met gamma_mu een gamma-matrix (4x4 in 4 dimensies) en epsilons parameter van de symmetrie-operatie (zoals bv een hoek waarover je roteert moest je met SO(2) bezig zijn.

Los van het feit dat het hier over supersymmetrie gaat, hoe werk je in het algemeen met zo'n operatoren in e-machten die niet commuteren?


Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Rekenen met niet commuterende operatoren

Voor alle zekerheid: merk op dat [S,P]=0, dus dat alle terme van derde orde (dus [S,[S,S]]) verdwijnen.

Berichten: 165

Re: Rekenen met niet commuterende operatoren

Het kan toch niet de bedoeling zijn om beide e-machten in reeks uit te schrijven en dan uit te werken wat elke term apart geeft?

Is er geen eenvoudigere methode?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Rekenen met niet commuterende operatoren

Er zijn toch maar 3 termen die verschillen van nul, dus dat valt wel mee toch?

Berichten: 165

Re: Rekenen met niet commuterende operatoren

Mag ik de eerste 2 exponenten verwisselen van plaats? (volgens mij wel, omdat P en S commuteren)

Als ik dan de twee e-machten met S uitwerk krijg ik toch geen enkele commutator die nul levert wegens de commutatierelatie die ik heb opgegeven...

Of ontwikkel je onmiddellijk alledrie de termen in reeks?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Rekenen met niet commuterende operatoren

Mag ik de eerste 2 exponenten verwisselen van plaats? (volgens mij wel, omdat P en S commuteren)
inderdaad
Als ik dan de twee e-machten met S uitwerk krijg ik toch geen enkele commutator die nul levert wegens de commutatierelatie die ik heb opgegeven...
Dat begrijp ik niet. Zeg je nu dat
\(e^{i\varepsilon_1^\alpha S_\alpha}e^{i\varepsilon_2^\beta S_\beta}=e^{i\varepsilon_1^\alpha S_\alpha+i\varepsilon_2^\beta S_\beta}?\)
Je moet gewoon de Zassenhaus formule toepassen uit de link die da_doc je gaf, en je moet opmerken dat er geen oneindig product staat in het rechterlid, omdat alle factoren van orde t^3,t^4,... 1 zijn.

Berichten: 165

Re: Rekenen met niet commuterende operatoren

Mag dit nu of niet:
\(e^{i\varepsilon_1^\alpha S_\alpha}e^{i\varepsilon_2^\beta S_\beta}=e^{i\varepsilon_1^\alpha S_\alpha+i\varepsilon_2^\beta S_\beta}?\)


Of is het juist de clue dat het niet mag omdat het niet commuterende operatoren zijn?

Dat blijven een eindig aantal termen verschillend van nul als ik de formule van zassenhaus toepas?

Want een paar posts terug staat er dat termen van derde orde wegvallen.

Ook alle termen van hogere orde dan?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Rekenen met niet commuterende operatoren

Of is het juist de clue dat het niet mag omdat het niet commuterende operatoren zijn?
inderdaad
Dat blijven een eindig aantal termen verschillend van nul als ik de formule van zassenhaus toepas?
Inderdaad. Probeer gewoon maar eens de term met 2 commutatoren, 3, 4, ... te berekenen (tot je het begrijpt dat ze allemaal verdwijnen).

Berichten: 308

Re: Rekenen met niet commuterende operatoren

Nou, M.B., ben je niet een beetje erg lui?

Berichten: 165

Re: Rekenen met niet commuterende operatoren

Met alle respect, maar supersymmetrie is niet de eenvoudigste materie die er bestaat.

't is niet m'n eerste post hier.

En nooit heb ik gevraagd: heeft iemand de oplossing?

Ik probeer steeds een eerste aanzet te geven

Vandaar de ondertitel in mijn onderwerp omdat ik vermoedde dat het met de BCH relatie te doen viel.

Maar als je het niet ziet, zie je het niet, toch?

Als ik een expliciete uitwerking zou willen, zal ik ze wel gewoon vragen.

Al is dat wel het laatste wat ik wil, omdat je anders niets bijleert...

Reageer