ik heb twee symmetrieen voor een systeem:
\(P_\mu, S_\alpha\) (generator voor translaties en en generator voor supersymmetrie respectievelijk)
Ik zou graag het volgende willen berekenen:
\(\begin{displaymath}e^{i\varepsilon_1^\alpha S_\alpha}e^{ix_\mu P_\mu}e^{i\varepsilon_2^\beta S_\beta}\end{displaymath}\)
P en S commuteren dus mag ik de eerste twee e-machten gewoon van volgorde wisselen, niet?
mag ik daarna de stukken uit de e-macht gewoon optellen? Het gaat hier over symmetrie-operatoren en geen gewone complexe getallen (S is een spinor)
Ze voldoen wel aan een bepaalde commutatierelatie, namelijk
\(\begin{displaymath}\left[\varepsilon_1^\alpha S_\alpha,S^\beta\varepsilon_{2\beta}\right] = -\varepsilon_1^\alpha (\gamma_\mu)_\alpha^\beta\varepsilon_{2\beta}P_\mu\end{displaymath}\)
met gamma_mu een gamma-matrix (4x4 in 4 dimensies) en epsilons parameter van de symmetrie-operatie (zoals bv een hoek waarover je roteert moest je met SO(2) bezig zijn.
Los van het feit dat het hier over supersymmetrie gaat, hoe werk je in het algemeen met zo'n operatoren in e-machten die niet commuteren?