Formule van maclaurin

In physics I trust

Oefening 4.7 Schrijf de formule van McLaurin met restterm van Lagrange op voor de volgende

functies.

a. f (x) = e^x (restterm van orde n+1)

b. f (x) = sin x (restterm van orde 2n+1)

c. f (x) = cosx (restterm van orde 2n+2)

toon aan dat, voor een vaste x, de restterm naar 0 nadert als de orde naar oneindig gaat.

Wat wordt er nu net bedoeld met bv. orde 2n+1?

Dank bij voorbaat!

Klintersaas

Wat wordt er nu net bedoeld met bv. orde 2n+1?

De restterm na 2n+1 termen van de reeks.

TD

Je weet dat e^x geschreven kan worden als 1+x+x²/2+x³/6+...; als je stopt bij exponent k heb je de reeksontwikkeling tot orde k, de restterm is dan van orde k+1.

Bij sinus en cosinus zijn er geen even resp. oneven termen, vandaar de resttermen van orde 2n+1 resp. 2n+2.

In physics I trust

OK, dat begrijp ik. En dat kan je dan gebruiken om bijvoorbeeld e te benaderen. (functie e^1).

Hoe kan je de restterm dan gebruiken om te weten tot op hoeveel cijfers na de komma je benadering klopt?

TD

De restterm na 2n+1 termen van de reeks.

Zo zou ik het toch niet formuleren, tenzij je termen "die er niet zijn" (nulle coëfficiënt) nog meetelt; deze restterm komt er na n termen.

TD

Hoe kan je de restterm dan gebruiken om te weten tot op hoeveel cijfers na de komma je benadering klopt?

Gebruik de restterm om je fout naar boven af te schatten, dit staat in functie van n.

In physics I trust

Bijvoorbeeld: e tot op 10^(-5) nauwkeurig.

De restterm:[(x^n)/n!]*λ(x) < 10^(-5). met x=1

Wat moet ik dan doen met de λ in die uitdrukking?

Nogmaals bedankt!

TD

Waar komt die lambda vandaan? Ik zou de Langrangevorm van de restterm gebruiken voor de afschatting.

In physics I trust

Dat was de restterm van Liouville, met die van lagrange lukt het idd beter:

de i'de afgeleide van e^x is e^x, aangezien we e moeten benaderen, nemen we x=1.

Alleen, wat doe ik met de f⁽ⁿ⁺¹⁾(

\(\xi\)

) in de restterm?

TD

Dan kan je de afgeleide afschatten met ξ in (0,1), e^ξ is dan minimaal 1 en maximaal e. Als je e aan het berekenen bent, heb je daar natuurlijk niet veel aan. Afhankelijk van je definitie van e, weet je bijvoorbeeld dat e<3 dus dan kan je dit met 3 naar boven afschatten. De restterm in 1 blijft dus tussen 1/(n+1)! en 3/(n+1)!, kies nu n in functie van de maximale fout die je wenst te maken.

In physics I trust

OK, bedankt, dat begrijp ik nu!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Formule van maclaurin

Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin

Re: Formule van maclaurin