Springen naar inhoud

Basisovergang en lineaire afbeeldingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2009 - 22:23

http://homepages.vub...enepe/linea.pdf
Op pagina 39 (pdf: 40) vind ik in opmerking 2.6.3 de vraag:

Schrijf zelf op welke nieuwe basissen E' en F' we moeten kiezen om N1AM als nieuwe matrix te krijgen.

Hoe pak je dit best aan?

Als iemand een hint kan geven, kan ik de oplossing mss zelf vinden?

Alvast bedankt!

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 december 2009 - 22:50

Als je begrijpt hoe die M en N 'gevuld' worden (zie eerder, matrix van basisovergang), dan kan je er misschien ook de gezochte basis(sen) uit afleiden?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2009 - 22:58

In de symboliek die gehanteerd wordt, vind ik het volgende:

A en A' zijn de matrices van de lineaire afbeeldingen, zij worden gevuld met in de kolommen de m componenenten van de beelden van de n basisvectoren volgens de lineaire afbeelding.

M en N zijn overgangsmatrices die de overgang tussen twee basissen van dezelfde ruimte aangeven.
In de rijen van M vind ik dus de componenten van n basisvectoren uitgeschreven in functie van de andere basisvectoren van dezelfde ruimte (dus E' geschreven in functie van E, met E en E' beide basissen voor V).

N wordt op analoge manier gevuld, maar dan met componenten van basisvectoren in de aankomstruimte.

Maar hoe dit kan helpen om de vraag te beantwoorden, zie ik niet ... :eusa_whistle:

Veranderd door In physics I trust, 16 januari 2012 - 16:03

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:02

Er is gevraagd hoe de nieuwe basissen gekozen moeten worden, met de matrix A gekend voor gegeven basissen.
Als E de gegeven basis is, dan vertelt M je precies hoe E' eruit zal zien, zie stelling 2.6.1. Dan analoog voor F en F'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:10

Er is gevraagd hoe de nieuwe basissen gekozen moeten worden, met de matrix A gekend voor gegeven basissen.
Als E de gegeven basis is, dan vertelt M je precies hoe E' eruit zal zien, zie stelling 2.6.1. Dan analoog voor F en F'.



Dat begrijp ik, je gebruikt M en N als overgangsmatrices, dus je vermenigvuldigt ermee (linksvermenigvuldiging). Ik begrijp alles wat er vooraf staat, dsu ik denk dat ik de vraag niet begrijp...

Ik moet een basis E' en F' zoeken (dus tweemaal een stel van resp. n en m basisvectoren) zodat je door linksvermenigvuldiging met M, resp. N, N-1AM krijgt?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:13

Ik begrijp niet goed wat jij allemaal waarmee wil vermenigvuldigen...

In die opmerking staat: als M en N inverteerbaar zijn (en van juiste afmetingen), dan bepalen A en N-1AM dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van verschillende basissen. Veronderstel bijvoorbeeld dat A gegeven is ten opzichte van de standaardbasissen, hoe vind je dan de nieuwe basissen E' en F' zodat N-1AM de matrixvoorstelling is van dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van E' en F'...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:18

A'=N-1AM
NA'M-1=A

Dan heb ik dezelfde matrix A, ťťnmaal geschreven ten opzichten van de standaardbasissen, ťťnmaal geschreven in de nieuwe basissen.

Is dit een stap in de juiste richting?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:24

Niet echt, tenzij ik niet begrijp wat je daarmee wil aanvangen. Nog eens opnieuw misschien.

Stel ik geef je A als matrix van een lineaire afbeelding f:V->W ten opzichte van basissen E en F:
1) Als ik je dan E' en F' geef, hoe bepaal je dan de matrix van f ten opzichte van E' en F'? Wel, je maakt matrices M en N (hoe?), en dan is N-1AM de gezochte matrixvoorstelling van f ten opzichte van E' en F'; dat is wat je daarvoor in de theorie gezien hebt.
2) Als ik je nu niet E' en F' geef, maar wel M en N en ik zeg je dat de matrixvoorstelling van f ten opzichte van nieuwe basissen (ik noem ze E' en F', maar ze zijn niet gegeven) gegeven wordt door N-1AM; hoe kan je dan uitvissen wat die basissen E' en F' zijn?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:34

1) M en N vind ik zoals in 2.6.3
2) Ik dacht uit de twee matrices van dezelfde lineaire afbeelding f de overgangsmatrix tussen E en E' af te leiden, maar ik weet niet of dat gaat...

(Nu begrijp ik in ieder geval de vraag al).
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:36

Concentreer je eens even alleen op de matrix M. Als je E en E' gegeven hebt, kan je M opstellen.
Als ik je nu E en M geef, hoe kan je daar dan E' uithalen? Bijvoorbeeld als E de standaardbasis is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:41

M*E=E'
denk ik toch?

Dus 2) wordt dan: E en F bekend => door middel van M en N E' en F' berekenen?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:43

Ik vraag me af hoe je aan dat vermenigvuldigen komt: M is een matrix, E is een basis! Dus een verzameling van vectoren...

Dus 2) wordt dan: E en F bekend => door middel van M en N E' en F' berekenen?

Dat is wel de bedoeling, ja.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:51

Ik vraag me af hoe je aan dat vermenigvuldigen komt: M is een matrix, E is een basis! Dus een verzameling van vectoren...


Dat is wel de bedoeling, ja.


Ai, ik ben aan het blunderen.

Dus u geeft me een basis E en de matrix van basisovergang M. Dan vinden we E' door, als E de standaardbasis is, M te vermenigvuldigen met de eenheidsmatrix, of, algemener, als E een willekeurige basis is, door M te vermenigvuldigen met de matrix met in de kolommen de basisvectoren.

Klopt het ditmaal?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 december 2009 - 23:58

Ik zou M nergens mee vermenigvuldigen... Als M de overgangsmatrix is voor basissen E en E', dan bevat M in de kolommen de basisvectoren van E' geschreven ten opzichte van E - dat wist je normaal gezien al? Als E bovendien de standaardbasis is, staan de coŲrdinaten van de i-de basisvector van E' dus gewoon in de i-de kolom.
Omgekeerd, met M gegeven en E' gezocht: om de elementen van E' te kennen, lees je in de kolommen dus gewoon de basisvectoren van E' af... Indien E niet de standaardbasis was, lees je er de coŽfficiŽnten ten opzichte van E.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 december 2009 - 00:03

Ik heb er intussen enkele oefeningen bijgehaald, en was tot dezelfde conclusie gekomen. Een beetje in de war van al de theorie, denk ik. Maar nu past het plaatje wel perfect in elkaar! erg bedankt voor de uitgebreide antwoorden en veel geduld, TD!

Ik had nog een kleiner vraagje bij het voorbeeld 2.6.7: ik vroeg me gewoon af wat de notatie betekent die er in de eerste lijn wordt gebruikt?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures