Springen naar inhoud

Det(-a)=?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Basiliek.

    Basiliek.


  • >25 berichten
  • 57 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2009 - 16:07

Een goede middag samen,

Ik zit met een vraagje:

Aan wat is de determinant van de negatieve coŽfficiŽntenmatrix gelijk?

Ik heb dit eerst zelf proberen bepalen via een eenvoudig voorbeeldje:

We hebben een matrix A met a11=a, a12=b, a21=c en a22=d

-> matrix -A met a11=-a, a12=-b, a21=-c en a22=-d


dus Det(A)=ad-bc en Det(-A)=ad-bc



Ik veronderstel dus dat Det(A)=Det(-A), maar geldt dit voor alle matrices?
Knowledge is power

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 december 2009 - 16:10

Je mag in een determinant factoren per rij/kolom buitenzetten (in dit geval factor -1), zodat dat voor een 2x2 'geneutraliseerd' wordt: -1 * -1 =1, terwijl voor een 3x3 dit niet het geval is:
-1 * -1 *-1 = -1
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#3

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 december 2009 - 16:12

Als A een nxn matrix is dan geldt volgende eigenschap:

LaTeX met c een getal

#4

Basiliek.

    Basiliek.


  • >25 berichten
  • 57 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2009 - 16:27

Je mag in een determinant factoren per rij/kolom buitenzetten (in dit geval factor -1), zodat dat voor een 2x2 'geneutraliseerd' wordt: -1 * -1 =1, terwijl voor een 3x3 dit niet het geval is:
-1 * -1 *-1 = -1


Je hebt gelijk, ik heb nu een willekeurige 3x3 matrix en ik kom idd het volgende uit:

Det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi
Det(-A)=-aei-bfg-cdh-ceg-afh-bdi

Hoe kan je dit symbolisch dan voorstellen? Redeneer ik juist als ik ik zeg dat Det(-A) het toegevoegde is van Det(A)? Of geldt de toegevoegde term enkel bij complexe getallen?




Als A een nxn matrix is dan geldt volgende eigenschap:

LaTeX

met c een getal


Excuseer ik had je bericht nog niet gelezen.

Je hebt inderdaad gelijk, maar hoe kun je dit aantonen? Bestaat er een bewijs hieromtrent?

Basiliek.
Knowledge is power

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 december 2009 - 16:34

http://homepages.vub...enepe/linea.pdf
p63 ev
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

Basiliek.

    Basiliek.


  • >25 berichten
  • 57 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2009 - 16:37

http://homepages.vub...enepe/linea.pdf
p63 ev


Bedankt.
Knowledge is power

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2009 - 16:51

Dit is een rechtstreeks gevolg van het feit dat de determinant lineair is in de kolommen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Basiliek.

    Basiliek.


  • >25 berichten
  • 57 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2009 - 16:54

Dit is een rechtstreeks gevolg van het feit dat de determinant lineair is in de kolommen.


Wat bedoelt u hier precies mee?
Knowledge is power

#9

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 december 2009 - 16:58

Wat bedoelt u hier precies mee?


Als 1 kolom van de determinant gedeeld kan worden door een getal c, dan kan je die c buiten de determinant brengen. Als je dus in alle n kolommen van je matrix die c kan buitenbrengen krijg je in totaal c^n buiten de determinant.

#10

Basiliek.

    Basiliek.


  • >25 berichten
  • 57 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2009 - 17:01

Als 1 kolom van de determinant gedeeld kan worden door een getal c, dan kan je die c buiten de determinant brengen. Als je dus in alle n kolommen van je matrix die c kan buitenbrengen krijg je in totaal c^n buiten de determinant.



Zo zit dat :eusa_whistle: .

Bedankt om me dit inzicht bij te brengen Td en Xenion.
Knowledge is power

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2009 - 17:02

Wat bedoelt u hier precies mee?

Dit is een algemene eigenschap van determinanten. Ik toon het even met een 2x2, lineariteit in de eerste kolom:

LaTeX

Zo is deze determinant ook lineair in de tweede kolom. In het algemeen voor een nxn, lineair in elke kolom.

Toegepast op det(kA): uit elke kolom "komt een factor k naar buiten", voor een nxn krijg je dus kndet(A). Neem dan voor jouw specifieke vraag nog k = -1 en je vindt wat hierboven al werd gevonden: gelijk voor even n, tegengesteld voor oneven n.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Basiliek.

    Basiliek.


  • >25 berichten
  • 57 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2009 - 17:33

Dit is een algemene eigenschap van determinanten. Ik toon het even met een 2x2, lineariteit in de eerste kolom:

LaTeX



Zo is deze determinant ook lineair in de tweede kolom. In het algemeen voor een nxn, lineair in elke kolom.

Toegepast op det(kA): uit elke kolom "komt een factor k naar buiten", voor een nxn krijg je dus kndet(A). Neem dan voor jouw specifieke vraag nog k = -1 en je vindt wat hierboven al werd gevonden: gelijk voor even n, tegengesteld voor oneven n.


Maar de coŽfficiŽnten c en f bevatten toch niet de factoren lambda en mu? :eusa_whistle:

Veranderd door Basiliek., 29 december 2009 - 17:34

Knowledge is power

#13

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 december 2009 - 17:44

Maar de coŽfficiŽnten c en f bevatten toch niet de factoren lambda en mu? :eusa_whistle:


De determinant is lineair in de kolommen, als de andere kolom ook nog eens lambda en mu zouden hebben zou je die in een volgende stap ook weer buiten de determinant kunnen brengen.


LaTeX

In dit voorbeeld zie je dat de hele matrix dus deelbaar is door lamba en als je het rechterlid weer herschrijft, maar je laat lambda≤ buiten staan dan heb je die eigenschap waar je naar vroeg ](*,)

Veranderd door Xenion, 29 december 2009 - 17:48


#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2009 - 17:49

Maar de coŽfficiŽnten c en f bevatten toch niet de factoren lambda en mu? :eusa_whistle:

Dat is net het hele punt, de determinant is lineair in elke kolom (apart).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2009 - 20:37

Als je bij een Determinant twee rijen of twee kolommen verwisselt dan gaat die in zijn tegengestelde over: Algemene Eigenschap van Determinanten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures