Det(-a)=?
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 57
Det(-a)=?
Een goede middag samen,
Ik zit met een vraagje:
Aan wat is de determinant van de negatieve coëfficiëntenmatrix gelijk?
Ik heb dit eerst zelf proberen bepalen via een eenvoudig voorbeeldje:
We hebben een matrix A met a11=a, a12=b, a21=c en a22=d
-> matrix -A met a11=-a, a12=-b, a21=-c en a22=-d
dus Det(A)=ad-bc en Det(-A)=ad-bc
Ik veronderstel dus dat Det(A)=Det(-A), maar geldt dit voor alle matrices?
Ik zit met een vraagje:
Aan wat is de determinant van de negatieve coëfficiëntenmatrix gelijk?
Ik heb dit eerst zelf proberen bepalen via een eenvoudig voorbeeldje:
We hebben een matrix A met a11=a, a12=b, a21=c en a22=d
-> matrix -A met a11=-a, a12=-b, a21=-c en a22=-d
dus Det(A)=ad-bc en Det(-A)=ad-bc
Ik veronderstel dus dat Det(A)=Det(-A), maar geldt dit voor alle matrices?
Knowledge is power
- Berichten: 7.390
Re: Det(-a)=?
Je mag in een determinant factoren per rij/kolom buitenzetten (in dit geval factor -1), zodat dat voor een 2x2 'geneutraliseerd' wordt: -1 * -1 =1, terwijl voor een 3x3 dit niet het geval is:
-1 * -1 *-1 = -1
-1 * -1 *-1 = -1
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
- Berichten: 2.609
Re: Det(-a)=?
Als A een nxn matrix is dan geldt volgende eigenschap:
\(det(c*A) = c^n*det(A)\)
met c een getal-
- Berichten: 57
Re: Det(-a)=?
Je hebt gelijk, ik heb nu een willekeurige 3x3 matrix en ik kom idd het volgende uit:In fysics I trust schreef:Je mag in een determinant factoren per rij/kolom buitenzetten (in dit geval factor -1), zodat dat voor een 2x2 'geneutraliseerd' wordt: -1 * -1 =1, terwijl voor een 3x3 dit niet het geval is:
-1 * -1 *-1 = -1
Det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi
Det(-A)=-aei-bfg-cdh-ceg-afh-bdi
Hoe kan je dit symbolisch dan voorstellen? Redeneer ik juist als ik ik zeg dat Det(-A) het toegevoegde is van Det(A)? Of geldt de toegevoegde term enkel bij complexe getallen?
Excuseer ik had je bericht nog niet gelezen.Xenion schreef:Als A een nxn matrix is dan geldt volgende eigenschap:
\(det(c*A) = c^n*det(A)\)met c een getal
Je hebt inderdaad gelijk, maar hoe kun je dit aantonen? Bestaat er een bewijs hieromtrent?
Basiliek.
Knowledge is power
- Berichten: 7.390
Re: Det(-a)=?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 57
Re: Det(-a)=?
Knowledge is power
- Berichten: 24.578
Re: Det(-a)=?
Dit is een rechtstreeks gevolg van het feit dat de determinant lineair is in de kolommen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 57
Re: Det(-a)=?
Dit is een rechtstreeks gevolg van het feit dat de determinant lineair is in de kolommen.
Wat bedoelt u hier precies mee?
Knowledge is power
- Berichten: 2.609
Re: Det(-a)=?
Wat bedoelt u hier precies mee?
Als 1 kolom van de determinant gedeeld kan worden door een getal c, dan kan je die c buiten de determinant brengen. Als je dus in alle n kolommen van je matrix die c kan buitenbrengen krijg je in totaal c^n buiten de determinant.
-
- Berichten: 57
Re: Det(-a)=?
Zo zit dat :eusa_whistle: .Als 1 kolom van de determinant gedeeld kan worden door een getal c, dan kan je die c buiten de determinant brengen. Als je dus in alle n kolommen van je matrix die c kan buitenbrengen krijg je in totaal c^n buiten de determinant.
Bedankt om me dit inzicht bij te brengen Td en Xenion.
Knowledge is power
- Berichten: 24.578
Re: Det(-a)=?
Dit is een algemene eigenschap van determinanten. Ik toon het even met een 2x2, lineariteit in de eerste kolom:Wat bedoelt u hier precies mee?
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda a + \mu b} & c \\ {\lambda d + \mu e} & f \\\end{array}} \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & c \\ d & f \\\end{array}} \right| + \mu \left| {\begin{array}{*{20}{c}} b & c \\ e & f \\\end{array}} \right|\)
Zo is deze determinant ook lineair in de tweede kolom. In het algemeen voor een nxn, lineair in elke kolom.Toegepast op det(kA): uit elke kolom "komt een factor k naar buiten", voor een nxn krijg je dus kndet(A). Neem dan voor jouw specifieke vraag nog k = -1 en je vindt wat hierboven al werd gevonden: gelijk voor even n, tegengesteld voor oneven n.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 57
Re: Det(-a)=?
Maar de coëfficiënten c en f bevatten toch niet de factoren lambda en mu? :eusa_whistle:TD schreef:Dit is een algemene eigenschap van determinanten. Ik toon het even met een 2x2, lineariteit in de eerste kolom:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda a + \mu b} & c \\ {\lambda d + \mu e} & f \\\end{array}} \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & c \\ d & f \\\end{array}} \right| + \mu \left| {\begin{array}{*{20}{c}} b & c \\ e & f \\\end{array}} \right|\)Zo is deze determinant ook lineair in de tweede kolom. In het algemeen voor een nxn, lineair in elke kolom.
Toegepast op det(kA): uit elke kolom "komt een factor k naar buiten", voor een nxn krijg je dus kndet(A). Neem dan voor jouw specifieke vraag nog k = -1 en je vindt wat hierboven al werd gevonden: gelijk voor even n, tegengesteld voor oneven n.
Knowledge is power
- Berichten: 2.609
Re: Det(-a)=?
De determinant is lineair in de kolommen, als de andere kolom ook nog eens lambda en mu zouden hebben zou je die in een volgende stap ook weer buiten de determinant kunnen brengen.Maar de coëfficiënten c en f bevatten toch niet de factoren lambda en mu? :eusa_whistle:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda a + \mu b} & {\lambda c} \\ {\lambda d + \mu e} & {\lambda f} \\\end{array}} \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & {\lambda c} \\ d & {\lambda f} \\\end{array}} \right| + \mu \left| {\begin{array}{*{20}{c}} b & {\lambda c} \\ e & {\lambda f} \\\end{array}} \right| = \lambda^2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & c \\ d & f \\\end{array}} \right| + \mu\lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}} b & c \\ e & f \\\end{array}} \right|\)
In dit voorbeeld zie je dat de hele matrix dus deelbaar is door lamba en als je het rechterlid weer herschrijft, maar je laat lambda² buiten staan dan heb je die eigenschap waar je naar vroeg ](*,)- Berichten: 24.578
Re: Det(-a)=?
Dat is net het hele punt, de determinant is lineair in elke kolom (apart).Maar de coëfficiënten c en f bevatten toch niet de factoren lambda en mu? :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 478
Re: Det(-a)=?
Als je bij een Determinant twee rijen of twee kolommen verwisselt dan gaat die in zijn tegengestelde over: Algemene Eigenschap van Determinanten.