Dubbele integratie over gebied.

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 689

Dubbele integratie over gebied.

Ik wil de integraal
\( \int \int_D \frac{x}{x^2+y^2} \ \mbox{d}x \ \mbox{d}y\)
uitrekenen voor D begrenst door y = x en y = x2/2.

Daarvoor maak ik gebruik van een transformatie in poolcoördinaten, met Jacobiaan = r.
\( \int_0^2 \ \mbox{d}x \ \int_{\frac{x^2}{2}}^{x} \frac{x}{x^2+y^2} \ \mbox{d}y = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mbox{d}\theta \ \int_{0}^{\frac{2 \sin \theta}{\cos^2 \theta}} \frac{r \cos \theta}{r^2}r \ \mbox{d}r = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mbox{d}\theta \ \int_{0}^{\frac{2 \sin \theta}{\cos^2 \theta}} \cos \theta \ \mbox{d}r\)
en dan na oplossen:
\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 \sin \theta}{\cos^2 \theta} \cos \theta \ \mbox{d}\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ \mbox{d}\theta = -2 \ln (\cos \frac{\pi}{4}) +2 \ln (\cos 0) \approx 6.931 \)
Dit klopt niet volgens mijn boek, dat zegt dat het antwoord ln(2) is.

Weet iemand waar ik in de fout ga?

Alvast bedankt!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Dubbele integratie over gebied.

Als iemand zich afvraagt waar ik de integratiegrenzen van mijn integraal naar r vandaan haal:

Uit
\(y = \frac{x^2}{2} \ \Rightarrow \ r \sin \theta = \frac{r^2 \cos^2 \theta}{2} \ \Rightarrow \ r = \frac{2 \sin \theta}{\cos ^2 \theta}\)
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Berichten: 93

Re: Dubbele integratie over gebied.

ik eb de integraal opgelost zonder over te stappen naar poolcoördinaten en ik kwam dan ln 2 uit.
BABBAGE

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Dubbele integratie over gebied.

\( ...= -2 \ln (\cos \frac{\pi}{4}) +2 \ln (\cos 0)=\ln(2) \approx 0.6931 \)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Dubbele integratie over gebied.

Misschien voor de duidelijkheid:

Die cosinussen zijn gekende waardes en je kan dan volgende eigenschappen van de logaritme toepassen
\(aln(b)=ln(b^a)\)
en
\(ln(a)+ln(b) = ln(ab)\)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: Dubbele integratie over gebied.

Bedankt. Het geeft een goed gevoel te weten dat ik toch juist was :eusa_whistle: Allez, ook al wist ik dan niet dat ik juist was.

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Reageer