Springen naar inhoud

Lineair (on)afhankelijk


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 december 2009 - 15:27

Ik weet hoe ik lineaire (on)afhankelijkheid in het algemeen controleer, voor koppels vectoren, voor veeltermen, ... maar niet voor 'willekeurige' uitdrukkingen zoals bv.
sin(x), cos(x), tan(x).

Ik moet dus nagaan of een niet 0 oplossing bestaat van

a sin(x)+b cos(x)+c tan(x)=0

Maar dan heb ik meer vergelijkingen nodig. Kan ik die bekomen door bv. de afgeleide van de uitdrukking te nemen en die ook aan nul gelijk te stellen, de tweede afgeleide te nemen en die ook aan nul gelijk te stellen? Dan krijg ik een 3 vgl - 3 onbekenden stelsel, en dat lijkt me vertrouwder...
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 december 2009 - 15:35

In het algemeen kan je dat doen m.b.v. de Wronskiaan. Als dat hier niet de bedoeling is, denk ik dat het erop neerkomt om na te gaan of je (bv.) tan(x) kan schrijven als lineaire combinatie van sin(x) en cos(x) enz. Antwoord(en): nee; maar een echt "bewijs" is dat niet natuurlijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 december 2009 - 15:40

Niet de bedoeling, maar toch bedankt voor de tip!

Een beetje uit de losse pols dus :eusa_whistle: Maar ik mag wel de uitdrukking afleiden om meerdere vergelijkingen te bekomen?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 december 2009 - 15:46

Dat lijkt me niet de bedoeling, tenzij jullie dergelijke oefeningen op die manier moesten oplossen?
Eigenlijk ben je dan toch min of meer met de Wronskiaan bezig, die bevat de afgeleide functies...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 december 2009 - 15:49

Nee, er is enkel een oefening gemaakt van de reeks die op het zicht lineair afhankelijk is, waardoor het mooi uitkwam :eusa_whistle: Dat lukt wel. Het probleem doet zich voor als je echter een onafhankelijk stel hebt.

Dat afleiden was een eigen (slechte?) vondst...
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 december 2009 - 15:52

Ja en nee... Prima om het netjes te doen, maar dan heb je wel die "stelling" nodig (verband Wronskiaan <-> lineair (on)afhankelijkheid). Als die er niet is, lijkt het me niet de bedoeling daarmee te werken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 december 2009 - 15:54

Bestaat er een alternatief om de lin. onafhankelijkheid aan te tonen?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 december 2009 - 16:02

Voor functies (in het algemeen) kan ik voorlopig alleen de Wronskiaan bedenken.
Ik betwijfel of het bij deze opgave wel de bedoeling is om het formeel te bewijzen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 december 2009 - 16:11

Welke van de volgende deelverzamelingen van C([a,b]) zijn lineair onafhankelijk?

Dit was de opgave. Maar ik zal het wel zo laten voor deze oefening. Vermoedelijk volstaat het om 'te zien' dat sommige combinaties lin. afh. zijn, zoals cos²x, sin²x en cos(2x), dat is immers vrij evident.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 december 2009 - 16:19

Dat lijkt me ook: het "zien" van een lineaire combinatie a.d.h.v gekende formules/identiteiten.

Als je van sin(x) en cos(x) weet dat ze onafhankelijk zijn, volstaat het jezelf ervan te overtuigen dat tan(x) = sin(x)/cos(x) geen lineaire combinatie van sin(x) en cos(x) kan zijn; maar echt bewijzen zal hier niet de bedoeling zijn (denk ik!).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures