Springen naar inhoud

Reeksontwikkeling van arctan(x)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Box

    Box


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2009 - 14:20

Hallo,

De maclaurinreeks convergeert voor x element van [-1,1]. Omdat de afgeleiden van alle orden geŽvalueerd in 0 steeds 1 uitkomen, kan je dit gemakkelijk aantonen.
LaTeX
Deze laatste is een positieve machtreeks(PMR) rond 0 met convergentiestraal 1, onderzoek van z=1 en z=-1 toont aan dat de PMR daar ůůk convergeert. Daar mijn definitie van "holomorf/analytisch" luidt: "Een functie is holomorf in de omgeving van een punt als er een PMR bestaat omheen dat punt met een strikt positieve convergentiestraal die daar naar die functie convergeert". We kunnen besluiten dat de functie arctan reeds zeker holomorf is in ]-1,1[.

Hoe moet ik dat nu verder onderzoeken voor de rest van R? (complexe getallen niet, dat doen we nog niet :eusa_whistle:) Ik zou zogezegd moeten een "algemene" gedaante kunnen noteren voor de k-de afgeleide en die dan als coŽfficient gebruiken in mijn PMR, waarna ik de convergentiestraal kan berekenen voor de PMR rond een "willekeurig" punt. Probleem is dat de afgeleiden best ingewikkeld worden:

f:=x->arctan(x);
						 f := x -> arctan(x)

> diff(f(x),x);

								  1
								------
									 2
								1 + x

> diff(f(x),x$2);

								  2 x
							 - ---------
									 2 2
							   (1 + x )

> diff(f(x),x$3);

							 2
						  8 x		   2
						--------- - ---------
							  2 3		 2 2
						(1 + x )	(1 + x )

> diff(f(x),x$4);

							   3
						   48 x		24 x
					   - --------- + ---------
							   2 4		 2 3
						 (1 + x )	(1 + x )

> diff(f(x),x$5);

						4		   2
				   384 x	   288 x		 24
				  --------- - --------- + ---------
						2 5		 2 4		 2 3
				  (1 + x )	(1 + x )	(1 + x )

Een paar goeie tips om er systematiek in te vinden ? Of is de aanpak fout / zoek ik het te ver?

mvg, Box
Das ist nicht einmal falsch. - Wolfgang Pauli

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 december 2009 - 14:34

LaTeX

LaTeX

LaTeX

gejat van : https://nrich.maths....html?1161760043
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 december 2009 - 15:56

PMR? Nooit van gehoord.
Wat is de afgeleide van arctan?
Wat is de machtreeks van LaTeX ?

#4

Box

    Box


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2010 - 20:38

Terzijde: PMR of positieve machtreeks rond z_0, bij definitie een machtreeks van de vorm:
LaTeX
Deze heeft een convergentiestraal R: LaTeX .

Wat PeterPan misschien bedoelt (denk ik):
In de reeksontwikkeling van 1/(1-x) (waarvan je wel gemakkelijk de ontwikkeling rond andere punten kan algemeen opschrijven: vergelijk met een meetkundige reeks) de x formeel vervangen door -t^2, dan heb ik de algemene vorm van de ontwikkeling van 1/(1+t^2), termsgewijze integreren, dan krijg je de algemene vorm een reeksontwikkeling van de arctan rond een willekeurig punt. Daar kan ik dan de convergentietest op toepassen... Ik heb het eigenlijk nog niet geprobeerd :lol: :eusa_whistle:

Wat denken jullie ?

mvg, Box
Das ist nicht einmal falsch. - Wolfgang Pauli

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 03 januari 2010 - 10:34

Voor LaTeX :
LaTeX

Veranderd door PeterPan, 03 januari 2010 - 10:35


#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 05 januari 2010 - 11:13

De machtreeks rond 0 van de LaTeX convergeert uniform op [-1,1] naar zijn limiet.
Voor LaTeX hebben we de laurentreeks gegeven door de relatie
LaTeX .





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures