Springen naar inhoud

Partieel afgeleiden voor beginners


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2009 - 14:39

Dag iedereen,

De laatste dag van 2009 besteed ik aan het bekijken van partieel integreren.

Ik ben begonnen met het begin en dat is op zoek gaan naar een goed, maar vooral simpel voorbeeld.

Dat is deze keer het eerste voorbeeld van Wikipedia: Klik hier voor desbetreffende pagina.

Voordat ik op die som wil ingaan, zou ik graag al dan niet bevestigd worden in het volgende gedachtegoed:

"Partieel afgeleiden wordt gebruikt bij het onderzoeken van een functie met twee variabelen. Men wil bijvoorbeeld achterhalen wat het effect is van het veranderen van een variabele terwijl de andere variabele constant wordt gehouden. In woorden: wat is het effect van de temperatuur (=variabele 1) en de lichtintensiteit (=variabele 2) op de CO2 assimilatie (=functie) van een bepaalde plant."

Wiskundig zou je dat kunnen schrijven zoals de eerste voorbeeldsom op Wikipedia.

We willen hier dus weten hoe f(x,y) veranderd als x en y veranderen. We kunnen dit doen door 1 variabele constant te houden terwijl we de andere wijzigen.

Bij de eerste som zegt men op Wikipedia het volgende:
"In feite beschouwen we hier de variabele y als constante en differentiŽren we naar de variabele x."

Nu is mijn vraag: hoe moet je dat lezen en toepassen?
Bijvoorbeeld: kijk enkel en alleen naar x (/ differentieer enkel x) en laat y 'lekker' staan.
Bij het tweede deel van de som wordt dat dan dus: kijk enkel en alleen naar y (/differentieer y) en laat x staan.

Mag je dat inderdaad zo zeggen / vertalen?

Ik hoor graag hoe jullie hierover denken.

Bij voorbaat dank voor jullie moeite!

Vriendelijke groeten,

Fons

PS. Ik vind het prettig 'wiskunde formules' van tijd tot tijd even om te zetten tot simpele getalletjes / een verhaaltje / een zin. Ik doe dit omdat het dan voor mij makkelijker te begrijpen wordt. :eusa_whistle: Tegelijkertijd realiseer ik mij ook dat ik daarmee de 'wiskunde puristen' en het vak zelf een beetje te kort doe. Bij deze wil ik mij daar voor verontschuldigen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 31 december 2009 - 15:57

"Partieel afgeleiden wordt gebruikt bij het onderzoeken van een functie met twee variabelen.
We willen hier dus weten hoe f(x,y) veranderd als x en y veranderen. We kunnen dit doen door 1 variabele constant te houden terwijl we de andere wijzigen.
Bij de eerste som zegt men op Wikipedia het volgende:
"In feite beschouwen we hier de variabele y als constante en differentiŽren we naar de variabele x."
Nu is mijn vraag: hoe moet je dat lezen en toepassen?
Bijvoorbeeld: kijk enkel en alleen naar x (/ differentieer enkel x) en laat y 'lekker' staan.
Bij het tweede deel van de som wordt dat dan dus: kijk enkel en alleen naar y (/differentieer y) en laat x staan.
Mag je dat inderdaad zo zeggen / vertalen?

Je ziet en verwoordt het vlijmscherp!

#3

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 december 2009 - 16:28

Nu is mijn vraag: hoe moet je dat lezen en toepassen?
Bijvoorbeeld: kijk enkel en alleen naar x (/ differentieer enkel x) en laat y 'lekker' staan.
Bij het tweede deel van de som wordt dat dan dus: kijk enkel en alleen naar y (/differentieer y) en laat x staan.


Ik weet niet wat je bedoelt met 'lekker' laten staan, maar een correctere verwoording is waarschijnlijk 'als constante beschouwen'

Stel je hebt: f(x,y) = 2*x*y + x + y

Als je de partiŽle afgeleide naar x berekent krijg je: LaTeX
Die laatste term in je originele functie afleiden geeft dus 0, omdat je y hier als een constante beschouwt. Je mag die term dus niet gewoon 'laten staan'.

Veranderd door Xenion, 31 december 2009 - 16:29


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 januari 2010 - 13:21

De laatste dag van 2009 besteed ik aan het bekijken van partieel integreren.

Je bedoelt wellicht afleiden :eusa_whistle:

"Partieel afgeleiden wordt gebruikt bij het onderzoeken van een functie met twee variabelen. Men wil bijvoorbeeld achterhalen wat het effect is van het veranderen van een variabele terwijl de andere variabele constant wordt gehouden.

Je kan het misschien direct wat algemener zien: voor functies van meerdere veranderlijken (ook drie, vier, ...). Van een functie van ťťn veranderlijke, met voorschrift y = f(x), ken je de "gewone afgeleide". Die vertelt hoe sterk het beeld (y = f(x)) verandert, wanneer de (onafhankelijke) veranderlijke x verandert.
Als je gaat kijken naar een functie z = f(x,y) van twee onafhankelijke veranderlijken x en y, dan werkt dat niet meer. Je wil nog steeds de invloed van de veranderlijken op het beeld nagaan, maar je kan dat nu op meerdere manieren doen. Bijvoorbeeld: hoe verandert z = f(x,y) als ik y constant hou, maar x laat variŽren. Dit geeft aanleiding tot de partiŽle afgeleide naar x; vice versa voor y.

In woorden: wat is het effect van de temperatuur (=variabele 1) en de lichtintensiteit (=variabele 2) op de CO2 assimilatie (=functie) van een bepaalde plant."

Als dit het voorbeeld is en ik noem de functie f, dan heb je f(T,I) met T de temperatuur en I de lichtintensiteit. Met de partiŽle afgeleide van f naar T kan je dan bijvoorbeeld bepalen hoe fel f verandert als je T laat variŽren, voor een zekere vaste waarde van de lichtintensiteit; en weer omgekeerd. Je gaat de invloed van beide parameters dus 'apart' na, door telkens ťťn constant te houden en de andere te laten variŽren.

Bijvoorbeeld: kijk enkel en alleen naar x (/ differentieer enkel x) en laat y 'lekker' staan.
Bij het tweede deel van de som wordt dat dan dus: kijk enkel en alleen naar y (/differentieer y) en laat x staan.

Mag je dat inderdaad zo zeggen / vertalen?

Het ligt eraan wat je hier precies mee bedoelt, zoals reeds gezegd is het wat veiliger om het te hebben over "als constante beschouwen".

Voorbeelden:

(x≤)' = 2x
(4x≤)' = 4.2x = 8x
(cx≤)' = c.2x = 2cx
(2+c+x)' = 2' + c' + x' = 1

In mijn laatste voorbeelden, is c een of ander reŽel getal: een constante. Het afleiden is telkens de "gewone afgeleide". Zo ook bij het bepalen van een partiŽle afgeleide. Stel f(x,y) = x≤+y≤-2xy. Om de partiŽle afgeleide van f naar x te vinden, bekijk je het eigenlijk als een functie van ťťn veranderlijke (namelijk x), waarbij je y beschouwt als een constante.

LaTeX

Je vindt dus 2x-2y.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures