Springen naar inhoud

Vraagstuk differentiaalvergelijkingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

TerrorTale

    TerrorTale


  • >100 berichten
  • 146 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2010 - 15:10

hey, ik heb hier een vraagstuk over differentiaalvergelijkingen van de eerste orde dat ik maar niet krijg opgelost.

Twee vaten staan boven elkaar. op t=0 bevat het bovenste vat 10l water waarin 2 kg zout is opgelost en het onderste vat bevat 5 l zuiver water. In het bovenste vat stroomt zuiver water met een debiet van 2 l/min en de vloeistof uit het bovenste vat stroomt in het onderste vat, eveneens met een debiet van 2 l/min. De vloeistof uit het onderste vat stroomt weg met een debiet van 1 l/min.
Na hoeveel tijd bevatten beide vaten evenveel zout en hoeveel bedraagt deze hoeveelheid?

Oplossing: na 4.29 sec bevatten beide vaten elk 0.848 kg zout.


De vergelijking voor de massa zout in het eerste vat heb ik reeds gevonden:

Eerste vat

V(t) = 10 + (2-2)t Met V(t) het volume water op ieder moment

X(t): Massa zout aanwezig in het vat

dan is LaTeX de concentratie van het zout

X(t + dt) = X(t) - LaTeX * 2 * dt

LaTeX = -LaTeX X

de diff uitgewerkt:

X = LaTeX



tweede vat

V(t) = 5 + (2-1)t = 5 + t

X(t + dt) = x(t) - LaTeX * dt + (2 - LaTeX ) * dt

dit blijkt echter niet te kloppen, weet iemand wat ik mis doe?
alvast bedankt!
en gelukkig Nieuwjaar ;-)





ik denk dat ik per ongeluk op 'plaats bericht' geklikt heb bij het vorige onderwerp xD

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 januari 2010 - 16:35

Ik volg niet helemaal hoe je die differentiaalvergelijking opstelt.

Voor vat 2: dX/dt = (instroomsnelheid X)-(uitstroomsnelheid X).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

TerrorTale

    TerrorTale


  • >100 berichten
  • 146 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2010 - 16:46

ik redeneerde als volgt:

X(t) is de hoeveelheid zout in het vat op het tijdstip t.

X(t)/V(t) is de concentratie zout van het mengsel, dit vermenigvuldig ik met het debiet 1 l/min, en met dt.

er is in totaal 2 kg zout aanwezig, LaTeX is wat er overblijft in het eerste vat
dus LaTeX gaat over naar het tweede vat.

Veranderd door TerrorTale, 01 januari 2010 - 16:47


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 januari 2010 - 16:48

Dat lijk me niet juist (op t=0 gaat er toch geen 2kg over van vat 1 naar vat 2...?) maar ook nogal slordig om het zo op te stellen; tenzij dit misschien de "methode" is die jullie hiervoor gebruiken? Ik zou het opstellen in de vorm zoals in m'n vorig bericht, dus direct de afgeleide als netto snelheid.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

TerrorTale

    TerrorTale


  • >100 berichten
  • 146 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2010 - 16:56

ik snap niet goed wat je bedoelt met

op t=0 gaat er toch geen 2kg over van vat 1 naar vat 2...



maar het is ook nog niet de differentiaal die er staat, als je het uitwerkt kom je dit uit volgens mij:


dX/dt = -X/(5+t) + 2 - 2 * exp(-1/5 * t)

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 januari 2010 - 17:01

dX/dt = -X/(5+t) + 2 - 2 * exp(-1/5 * t)

Dat ziet er bijna juist uit. Die rode twee, moet er niet staan. Die komt van "2 * exp(-1/5 * t)" op t = 0. Die laatste term moet wel een positief teken hebben, want dat komt erbij.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

TerrorTale

    TerrorTale


  • >100 berichten
  • 146 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2010 - 17:51

hmm, het komt niet uit..

ik heb ook "2 * exp(-1/5 * t)" gedeeld door het volume in het bovenste vat (voor de concentratie) en dan vermenigvuldigt met het debiet geprobeerd, maar dat komt ook niet uit.

ofwel doe ik iets helemaal verkeerd

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 januari 2010 - 17:57

De inkomende snelheid is het product van het debiet (2) met de concentratie en dat is de hoeveelheid in vat 1 (2.exp(-t/5)) over het volume (10). Dus de term van de instroomsnelheid, is 2.2.exp(-t/5)/10 = 2.exp(-t/5)/5. De term voor de uitgaande snelheid had je al, namelijk -x(t)/(5+t).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures