Springen naar inhoud

In bovendriehoeksmatrixvorm brengen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2010 - 00:06

Diagonaliseren mag dan soms onmogelijk zijn, een matrix met elementen uitLaTeX kan je altijd trianguliseren, of nog, in bovendriehoeksvorm brengen.

In de cursus staat een bewijs over het feit dat er steeds een basis bestaat waarin dit mogelijk is, maar niet hoe je die basis vindt. Verder hebben we een voorbeeldoefening, maar waar het mij om gaat, is om het idee dat erachter zit, en waarvan ik niet volledig zeker ben.

Aangezien de stelling is bewezen per inductie op n, weten we dat we het trianguliseren van een nxn-matrix steeds zullen moeten herleiden tot het trianguliseren van een (n-1)x(n-1)-matrix, tot n een triviaal geval geeft. De werkwijze voor een 3x3 is dus als volgt:

1) We bepalen de eigenwaarden van de matrix. Zijn dat er n verschillende, dan hebben we geluk, dan bepalen we eenvoudig de diagonaalmatrix. Zijn er echter minder, dan zijn we gedoemd tot het in bovendriehoeksvorm brengen van de matrix.

2) Hiertoe kiezen we een nieuwe basis die de eigenvectoren die reeds gevonden werden, bevat, en verder aangevuld wordt met lineair onafhankelijke vectoren.

3) We bepalen opnieuw de matrix van de lineaire afbeelding door middel van de overgangsformules ten opzichte van deze nieuwe basis.

En nu wordt de cruciale stap gezet: de inductiehypothese, nl. dat een bovendriehoeksmatrix van een rang lager bestaat, moet in praktijk omgezet worden.

En daar loop ik vast. Blijkbaar moeten we de eerste kolom en eerste rij weglaten, zoals in het bewijs ook gedaan werd (betekenis: de afbeelding werd beperkt in zijn domein en in zijn aankomstruimte), en de overblijvende matrix van een rang lager in bovendriehoeksvorm brengen.

Twee pertinente vragen komen nu bij me op: hoe breng je eenvoudigweg een 2x2 -matrix in bovendriehoeksvorm (eigenwaarden van de matrix denk ik), en ten tweede: hoe breid je een basisvector die je dan gevonden hebt voor dimensie n-1 dan uit tot een basisvector voor dimensie n?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 00:36

Het is me niet helemaal duidelijk wat je nu zoekt: begrijp je een deel van het (theoretisch) bewijs niet, of zoek je een praktische methode om een matrix in bovendriehoeksvorm te brengen? Het is in elk geval niet noodzakelijk zo, dat het bewijs je ook een algoritme levert om het te doen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2010 - 09:37

Het bewijs begrijp ik wel, maar ik stel vast dat het idd geen algoritme levert om de gezochte basis ook te vinden. Wat het bewijs wel aanbrengt is een redenering waardoor je het probleem steeds herleidt tot het diagonaliseren van 2 bij 2 matrices. Mijn vraag is nu hoe je, eens je een basis hebt gevonden ten opzichte waarvan de 2x2 matrix bovendriehoeksmatrix is, je terugkeert naar nxn.

Mijn probleem zit dus bij het praktische algoritme.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2010 - 12:22

(een voorbeeld staat online op http://wwwtw.vub.ac....fening10_8a.pdf )
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 13:06

Het lijkt me dat dit voorbeeld een methode levert en je vraag beantwoordt, niet? Er wordt getoond hoe je van de 3x3 naar de beperkte afbeelding gaat, die 2x2 naar een bovendriehoeks brengt om dan terug te keren naar de 3x3... Je kan ook eens online zoeken op Schur decomposition.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:28

Die google hint heeft me flink geholpen.

Nu nog wat betreft de methode in dat voorbeeld:

er wordt overgegaan op de 2 bij 2 matrix, die vervolgens in bovendriehoeksvorm wordt gebracht, door een basis te zoeken. Deze basis wordt toch gevonden door eerst de eigenvector te zoeken, dat levert reeds één basisvector, en vervolgens een lineair onafhankelijke vector bij te kiezen?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:34

Klopt; die tweede is geen eigenvector en de matrix zal dus ook niet diagonaal zijn; maar wel driehoeks want de eerste is wel een eigenvector (dus eerste kolom van de vorm [k;0], k eigenwaarde).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:54

Maar zolang je de tweede basisvector lineair onafhankelijk kiest van de reeds bekom (1,0) is het in principe in orde: dus in dit voorbeeld (1,1), maar (3,2) zou ook in orde geweest zijn, toch?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:58

Ja, je moet gewoon een basis hebben.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2010 - 15:04

En om terug naar 3 bij 3 te gaan, zetten we erg gewoon terug een nul boven: we kunnen bijvoorbeeld de gekozen basis (1,0) en (3,2) uitbreiden tot (0,1,0) en (0,3,2) als basisvectoren van W?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 15:09

Ja, dat is dan een basis van W.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2010 - 15:12

En dan gebruik ik gewoon de formules voor basisovergang, om de matrix uit te drukken ten opzichte van deze basisvectoren, toegevoegd aan de reeds gevonden eigenvector van de 3 bij 3 matrix.

En dan komt het mooi uit, erg bedankt, TD!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 15:27

Inderdaad, in :eusa_whistle:³ vind je dan opnieuw de matrix ten opzichte van de gekozen basis, zoals gewoonlijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2010 - 17:02

Bedankt::
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures