\(\cc\)
kan je altijd trianguliseren, of nog, in bovendriehoeksvorm brengen.In de cursus staat een bewijs over het feit dat er steeds een basis bestaat waarin dit mogelijk is, maar niet hoe je die basis vindt. Verder hebben we een voorbeeldoefening, maar waar het mij om gaat, is om het idee dat erachter zit, en waarvan ik niet volledig zeker ben.
Aangezien de stelling is bewezen per inductie op n, weten we dat we het trianguliseren van een nxn-matrix steeds zullen moeten herleiden tot het trianguliseren van een (n-1)x(n-1)-matrix, tot n een triviaal geval geeft. De werkwijze voor een 3x3 is dus als volgt:
1) We bepalen de eigenwaarden van de matrix. Zijn dat er n verschillende, dan hebben we geluk, dan bepalen we eenvoudig de diagonaalmatrix. Zijn er echter minder, dan zijn we gedoemd tot het in bovendriehoeksvorm brengen van de matrix.
2) Hiertoe kiezen we een nieuwe basis die de eigenvectoren die reeds gevonden werden, bevat, en verder aangevuld wordt met lineair onafhankelijke vectoren.
3) We bepalen opnieuw de matrix van de lineaire afbeelding door middel van de overgangsformules ten opzichte van deze nieuwe basis.
En nu wordt de cruciale stap gezet: de inductiehypothese, nl. dat een bovendriehoeksmatrix van een rang lager bestaat, moet in praktijk omgezet worden.
En daar loop ik vast. Blijkbaar moeten we de eerste kolom en eerste rij weglaten, zoals in het bewijs ook gedaan werd (betekenis: de afbeelding werd beperkt in zijn domein en in zijn aankomstruimte), en de overblijvende matrix van een rang lager in bovendriehoeksvorm brengen.
Twee pertinente vragen komen nu bij me op: hoe breng je eenvoudigweg een 2x2 -matrix in bovendriehoeksvorm (eigenwaarden van de matrix denk ik), en ten tweede: hoe breid je een basisvector die je dan gevonden hebt voor dimensie n-1 dan uit tot een basisvector voor dimensie n?
Erg bedankt!
