Springen naar inhoud

Reeksen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2010 - 09:21

Om aan te tonen dat LaTeX
(dit is maar een voorbeeld)
heb ik achtereenvolgens de partieelsommen voor 1, 2, 3 enz termen bepaald LaTeX , LaTeX , LaTeX dus
om hieruit een algemene formule voor LaTeX af te leiden,
waarvan ik dan de limiet kan berekenen voor LaTeX
wat mij inderdaad de oplossing geeft.

Is er een andere -meer rigoureuzere- methode voor het bepalen van LaTeX ?
Want de methode hierboven -alhoewel ze intuÔtief wel klopt- gebruikt uiteindelijk toch enkel maar de 3, 4, 5 eerste termen van de reeks, en gaat er dus van uit dat deze eerste termen 'representatief' zijn voor de hele reeks...

Aansluitend nog een vraagje:
Is er een manier om
LaTeX
te bepalen zonder gebruik te maken van de reeksontwikkeling?

Bedankt

Veranderd door Westy, 03 januari 2010 - 09:22

---WAF!---

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2010 - 09:47

Je bepaalt de limiet door de reeks om te zetten in een rij (nl. een rij van partieelsommen).
En om de limiet van een rij te berekenen ken je vast toch wel rigoureuze methodes? Je kan gebruik maken van het verschil, de rede,... van de rij.
Waar zit je concreet probleem?

Verder: alles hangt natuurlijk af van de definitie die je neemt voor e, maar ik ken alleen de methode van de reeksontwikkeling. Iemand anders zal dit moeten bevestigen.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 12:56

Je kan het rigoureus doen door te bewijzen dat je formule voor de partiŽle som klopt, per inductie op n.
Dat is hier vrij eenvoudig te doen, probeer het eens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2010 - 13:49

aan 'In fysics I trust':
De rij van partieelsommen is in dit geval: 1/2, 5/6, 23/24, 119/120, ...Hiervan de totaalsom bepalen, daar ken ik niet direct een formule voor...
De formule voor Sn (de parttieelsom voor de n eerste termen) is in dit geval vrij snel te herkennen: LaTeX
en daar kan ik dan de limiet van nemen...
Maar dat is in andere voorbeelden niet steeds het geval, bvb
LaTeX geeft als rij van partieelsommen 1/6, 5/24, 27/5!, 168/6!, 1200/7!, 9720/8!,...
wat, na puzzelen voor Sn geeft LaTeX
Mijn vraag was hoe ik deze gevonden formules dan kon bewijzen...
(en ook of er methodes zijn om deze formules makkelijk te vinden...)

aan: 'TD':
Inductie, natuurlijk...
Alhoewel ik wel weet en begrijp dat een inductiebewijs perfect valabel is, heb ik toch steeds het gevoel dat dit geen 'echt' bewijs is waarin je het te bewijzen 'opbouwt' of 'ontdekt', maar eerder een makkelijkheidsoplossing die ervan uitgaat dat je de te bewijzen formule op voorhand al moet kennen, vooraleer je ze kan bewijzen...
Hoedanook bedankt, het lukt mij inderdaad en zonder probleem met inductie.

Blijft de vraag of er methodes zijn om de formule voor Sn (zoals in bovenstaand voorbeeld) makkelijk te vinden, of blijft dit gewoon een kwestie van puzzelen en 'zien'?
---WAF!---

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 13:52

Alhoewel ik wel weet en begrijp dat een inductiebewijs perfect valabel is, heb ik toch steeds het gevoel dat dit geen 'echt' bewijs is [...]

Ik zie niet echt in waarom niet hoor. Reeksen vinden is nu eenmaal wat prutsen, het aantal reeksen waar er kant-en-klare formules voor bestaan (zoals rekenkundige en meetkundige reeksen) is nu eenmaal erg beperkt. Een prima oplosmethode is hier aan de hand van enkele termen een formule voor de partieelsommen vooropstellen, deze bewijzen met inductie (in een paar regels) en dan de limiet van de rij van partieelsommen bepalen om de reeks te vinden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:19

Klaar en duidelijk. Hartelijk dank.

Zijn er nog ideeŽn voor mijn 2de vraagje?
( Hoe LaTeX aantonen zonder reeksontwikkeling? )
---WAF!---

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:24

Wat is je definitie van e? Dat is natuurlijk belangrijk...! Dit Ūs bv. een mogelijke definitie, dan is het triviaal :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:30

Het ei of de kip?
Ik ga meestal uit van volgende definitie:
LaTeX
---WAF!---

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:36

Het ei of de kip?

Het is logisch dat je een definitie voor e moet hebben, om e ergens in terug te vinden.
Je zal dus op een of andere manier die definitie erin verwerkt moeten krijgen...

Ik ga meestal uit van volgende definitie:
LaTeX

Maar is het een opgave om die reeks te bepalen (dan is het wel van belang welke definitie voor e gegeven is of gehanteerd wordt), of is dat gewoon eigen nieuwsgierigheid?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:50

Gewoon nieuwsgierig:
Ik vroeg me af of het mogelijk was (op dezelfde wijze als vorige voorbeelden) zelf de reekssom te bepalen van LaTeX
maw: ik vroeg me af hoe die e dan 'tevoorschijn' zou komen...
Als dit niet kan, geen enkel probleem...
---WAF!---

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 14:56

Die e kan niet "zomaar" tevoorschijn komen, want je hebt iets nodig waarvan je weet dat het "e Ūs", vandaar mijn vraag naar een definitie van e.
Zie bijvoorbeeld hier voor een bewijs dat de rij die je geeft equivalent is met de reeks (algemener: voor de exponentiŽle functie, neem x = 1 voor e).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2010 - 15:08

OK, ik begrijp het. Het item 'Equivalence of characterizations 1 and 2' is waar het om ging,
Maar ik begrijp dat de reekssom van LaTeX dus niet op een eenvoudige manier te bepalen is, zoals bovenstaande voorbeelden.
---WAF!---

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2010 - 15:10

Nog iets explicieter over de definities van het getal e zelf, zie hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2010 - 15:16

Hartelijk dank, ik zal een en ander 's doornemen. Zo weet ik weer wat te doen vanavond! ;į)
---WAF!---





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures