Reeksen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 03-01-'10, 09:21

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Reeksen

Om aan te tonen dat
\(\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)!}=1\)
(dit is maar een voorbeeld)

heb ik achtereenvolgens de partieelsommen voor 1, 2, 3 enz termen bepaald
\(S_1\)
,
\(S_2\)
,
\(S_3\)
dus

om hieruit een algemene formule voor
\(S_n\)
af te leiden,

waarvan ik dan de limiet kan berekenen voor
\(n\rightarrow \infty\)
wat mij inderdaad de oplossing geeft.

Is er een andere -meer rigoureuzere- methode voor het bepalen van
\(S_n\)
?

Want de methode hierboven -alhoewel ze intuïtief wel klopt- gebruikt uiteindelijk toch enkel maar de 3, 4, 5 eerste termen van de reeks, en gaat er dus van uit dat deze eerste termen 'representatief' zijn voor de hele reeks...

Aansluitend nog een vraagje:

Is er een manier om
\(\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e\)
te bepalen zonder gebruik te maken van de reeksontwikkeling?

Bedankt
---WAF!---
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 09:47

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Reeksen

Je bepaalt de limiet door de reeks om te zetten in een rij (nl. een rij van partieelsommen).

En om de limiet van een rij te berekenen ken je vast toch wel rigoureuze methodes? Je kan gebruik maken van het verschil, de rede,... van de rij.

Waar zit je concreet probleem?

Verder: alles hangt natuurlijk af van de definitie die je neemt voor e, maar ik ken alleen de methode van de reeksontwikkeling. Iemand anders zal dit moeten bevestigen.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 12:56

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeksen

Je kan het rigoureus doen door te bewijzen dat je formule voor de partiële som klopt, per inductie op n.

Dat is hier vrij eenvoudig te doen, probeer het eens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 13:49

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Reeksen

aan 'In fysics I trust':

De rij van partieelsommen is in dit geval: 1/2, 5/6, 23/24, 119/120, ...Hiervan de totaalsom bepalen, daar ken ik niet direct een formule voor...

De formule voor Sn (de parttieelsom voor de n eerste termen) is in dit geval vrij snel te herkennen:
\(\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!}\)
en daar kan ik dan de limiet van nemen...

Maar dat is in andere voorbeelden niet steeds het geval, bvb
\(\Sigma_{1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)
geeft als rij van partieelsommen 1/6, 5/24, 27/5!, 168/6!, 1200/7!, 9720/8!,...

wat, na puzzelen voor Sn geeft
\(\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\)
Mijn vraag was hoe ik deze gevonden formules dan kon bewijzen...

(en ook of er methodes zijn om deze formules makkelijk te vinden...)

aan: 'TD':

Inductie, natuurlijk...

Alhoewel ik wel weet en begrijp dat een inductiebewijs perfect valabel is, heb ik toch steeds het gevoel dat dit geen 'echt' bewijs is waarin je het te bewijzen 'opbouwt' of 'ontdekt', maar eerder een makkelijkheidsoplossing die ervan uitgaat dat je de te bewijzen formule op voorhand al moet kennen, vooraleer je ze kan bewijzen...

Hoedanook bedankt, het lukt mij inderdaad en zonder probleem met inductie.

Blijft de vraag of er methodes zijn om de formule voor Sn (zoals in bovenstaand voorbeeld) makkelijk te vinden, of blijft dit gewoon een kwestie van puzzelen en 'zien'?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 13:52

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeksen

Alhoewel ik wel weet en begrijp dat een inductiebewijs perfect valabel is, heb ik toch steeds het gevoel dat dit geen 'echt' bewijs is [...]
Ik zie niet echt in waarom niet hoor. Reeksen vinden is nu eenmaal wat prutsen, het aantal reeksen waar er kant-en-klare formules voor bestaan (zoals rekenkundige en meetkundige reeksen) is nu eenmaal erg beperkt. Een prima oplosmethode is hier aan de hand van enkele termen een formule voor de partieelsommen vooropstellen, deze bewijzen met inductie (in een paar regels) en dan de limiet van de rij van partieelsommen bepalen om de reeks te vinden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 14:19

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Reeksen

Klaar en duidelijk. Hartelijk dank.

Zijn er nog ideeën voor mijn 2de vraagje?

( Hoe
\( \Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e\)
aantonen zonder reeksontwikkeling? )
---WAF!---
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 14:24

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeksen

Wat is je definitie van e? Dat is natuurlijk belangrijk...! Dit ís bv. een mogelijke definitie, dan is het triviaal :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 14:30

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Reeksen

Het ei of de kip?

Ik ga meestal uit van volgende definitie:
\(\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
---WAF!---
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 14:36

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeksen

Het ei of de kip?
Het is logisch dat je een definitie voor e moet hebben, om e ergens in terug te vinden.

Je zal dus op een of andere manier die definitie erin verwerkt moeten krijgen...
Westy schreef:Ik ga meestal uit van volgende definitie:
\(\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
Maar is het een opgave om die reeks te bepalen (dan is het wel van belang welke definitie voor e gegeven is of gehanteerd wordt), of is dat gewoon eigen nieuwsgierigheid?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 14:50

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Reeksen

Gewoon nieuwsgierig:

Ik vroeg me af of het mogelijk was (op dezelfde wijze als vorige voorbeelden) zelf de reekssom te bepalen van
\( \Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \)
maw: ik vroeg me af hoe die e dan 'tevoorschijn' zou komen...

Als dit niet kan, geen enkel probleem...
---WAF!---
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 14:56

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeksen

Die e kan niet "zomaar" tevoorschijn komen, want je hebt iets nodig waarvan je weet dat het "e ís", vandaar mijn vraag naar een definitie van e.

Zie bijvoorbeeld hier voor een bewijs dat de rij die je geeft equivalent is met de reeks (algemener: voor de exponentiële functie, neem x = 1 voor e).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 15:08

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Reeksen

OK, ik begrijp het. Het item 'Equivalence of characterizations 1 and 2' is waar het om ging,

Maar ik begrijp dat de reekssom van
\( \Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \)
dus niet op een eenvoudige manier te bepalen is, zoals bovenstaande voorbeelden.
---WAF!---
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 15:10

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeksen

Nog iets explicieter over de definities van het getal e zelf, zie hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-01-'10, 15:16

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Reeksen

Hartelijk dank, ik zal een en ander 's doornemen. Zo weet ik weer wat te doen vanavond! ;°)
---WAF!---
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”