Springen naar inhoud

Lineaire operatoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Shadeh

    Shadeh


  • >100 berichten
  • 234 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2010 - 16:50

Goedendag, ik heb een vraag bij het volgende probleem:

Zij V een vectorruimte over een veld K, met een f een lineaire operator op V. De operator f heeft 4 lineair onafhankelijke eigenvectoren met eigenwaarden -2,0,2,2.(Char(K)=/2)

Met bijhorende vraag, wat zijn de eigenwaarden van f^4-f^3-4f^2+3f+1(1 de identieke)?

Kan ik f in matrixvorm opvatten als diag(-2,0,2,2)?

grtz

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2010 - 17:46

Wat betekent het dat λ een eigenwaarde is van f? Er bestaat een vector x zodat...
Kijk dan eens wat er gebeurt met het beeld van x onder de afbeelding f4-f3-4f2+3f+1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Shadeh

    Shadeh


  • >100 berichten
  • 234 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2010 - 19:43

Ik zie het niet :eusa_whistle: , is mijn redenering verkeerd?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2010 - 19:49

Ik heb nog niet veel redenering gezien... :eusa_whistle:

Maar je moet toch weten wat het betekent dat λ een eigenwaarde is, met eigenvector x?

Dan is f(x) = λ.x en dan is bv. f˛(x) = f(f(x)) = f(λx) = λf(x) = λ˛.x, begrijp je dat?
Blijkbaar is x ook een eigenvector van f˛ met eigenwaarde ... als x een eigenwaarde was van f met eigenwaarde λ.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Shadeh

    Shadeh


  • >100 berichten
  • 234 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:13

Ja, inderdaad. Maar ik had het over de redenering om f als matrix voor te stellen met op diag(-2,0,2,2).
Nu, dat van die eigenwaarden wist ik inderdaad maar ik zie niet in hoe het me verder kan helpen.

Ik heb hier dan
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Nu kan ik het vorige herschrijven als,
LaTeX

Hoe ik nu verder moet is echter een raadsel :eusa_whistle: , m'n excuses

grtz

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:22

Nu kan ik het vorige herschrijven als,
LaTeX

Dit is dus het beeld onder jouw nieuwe operator die ik even T zal noemen.
Haal x buiten, dus schrijf het als T(x) = kx; wat lees je hier dan als k af?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Shadeh

    Shadeh


  • >100 berichten
  • 234 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:38

Ok, dus
LaTeX
Nu blijkt uit het gestelde dat LaTeX eigenwaarden -2,0,2,2 had. Kan ik nu LaTeX gelijkstellen aan -2,0,2,2 in het onderlijnde zodat ik eigenwaarden voor LaTeX krijg?
bv:

LaTeX
Waaruit dan 1 van de eigenwaarden van T(x) -1 is?

Alvast bedankt !

grtz

Veranderd door Shadeh, 04 januari 2010 - 20:46


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:43

Ik heb het niet nagerekend, maar het idee klopt ja. Zie je ook waarom? Je vindt dat dezelfde eigenvector x (eerst van f, met eigenwaarde λ) nog steeds een eigenvector is (want je kan het precies in de vorm T(x) = kx schrijven); maar met eigenwaarde k in plaats van λ; k zoals hierboven onderlijnd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Shadeh

    Shadeh


  • >100 berichten
  • 234 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:46

Inderdaad, die T(x) liet m'n euro vallen :eusa_whistle:.

Bedankt voor de hulp TD!

grtz

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:50

Graag gedaan :eusa_whistle:

Je ziet, dit is meer een "denkoefening" (wat ís een eigenwaarde, wat betekent het?) dan een "rekenoefening": hier met matrices gaan werken (om te rekenen dan, bedoel ik) is hopeloos.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Shadeh

    Shadeh


  • >100 berichten
  • 234 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:06

Omtrent de eigenwaarde, een eigenwaarde is de scalair waarmee de eigenvector x wordt mee vermenigvuldigd(onder een bepaalde afbeelding).

Om toch even terug naar de oefening te gaan. Ik had die operator f in matrixvorm uitgeschreven:
-2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2

met dus op de eigenwaarden. Nadien berekende ik f^4, f^3,..... berekende ik deze matrix en kwam ik dus terug een diagonaal matrix uit. Deze is:

3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1

Wat inderdaad hetzelfde is of die andere methode. Zoals je zei is dit dan meer een rekenoefening dan een denkoefening.

grtz

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:09

Oké. Terzijde, maar misschien nuttig voor het inzicht: let natuurlijk wel op, het is niet omdat f die eigenwaarden heeft, dat de matrixvoorstelling ook precies die diagonaalmatrix is. De matrix hangt af van de gekozen basis en het is enkel die diagonaalmatrix, als je de eigenvectoren als basis gebruikt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Shadeh

    Shadeh


  • >100 berichten
  • 234 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:16

Oké

Bedankt voor de hulp TD!

grtz

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:22

Oké, graag gedaan en succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures