Goedendag, ik heb een vraag bij het volgende probleem:
Zij V een vectorruimte over een veld K, met een f een lineaire operator op V. De operator f heeft 4 lineair onafhankelijke eigenvectoren met eigenwaarden -2,0,2,2.(Char(K)=/2)
Met bijhorende vraag, wat zijn de eigenwaarden van f^4-f^3-4f^2+3f+1(1 de identieke)?
Kan ik f in matrixvorm opvatten als diag(-2,0,2,2)?
grtz
Laatste berichten
-
21:17
Straatklok loopt 5 minuten voor 8
-
20:50
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 9
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
19:07
wig 1
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Lineaire operatoren
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire operatoren
Wat betekent het dat λ een eigenwaarde is van f? Er bestaat een vector x zodat...
Kijk dan eens wat er gebeurt met het beeld van x onder de afbeelding f4-f3-4f2+3f+1.
Kijk dan eens wat er gebeurt met het beeld van x onder de afbeelding f4-f3-4f2+3f+1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 234
Re: Lineaire operatoren
Ik zie het niet :eusa_whistle: , is mijn redenering verkeerd?
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire operatoren
Ik heb nog niet veel redenering gezien... :eusa_whistle:
Maar je moet toch weten wat het betekent dat λ een eigenwaarde is, met eigenvector x?
Dan is f(x) = λ.x en dan is bv. f²(x) = f(f(x)) = f(λx) = λf(x) = λ².x, begrijp je dat?
Blijkbaar is x ook een eigenvector van f² met eigenwaarde ... als x een eigenwaarde was van f met eigenwaarde λ.
Maar je moet toch weten wat het betekent dat λ een eigenwaarde is, met eigenvector x?
Dan is f(x) = λ.x en dan is bv. f²(x) = f(f(x)) = f(λx) = λf(x) = λ².x, begrijp je dat?
Blijkbaar is x ook een eigenvector van f² met eigenwaarde ... als x een eigenwaarde was van f met eigenwaarde λ.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 234
Re: Lineaire operatoren
Ja, inderdaad. Maar ik had het over de redenering om f als matrix voor te stellen met op diag(-2,0,2,2).
Nu, dat van die eigenwaarden wist ik inderdaad maar ik zie niet in hoe het me verder kan helpen.
Ik heb hier dan
grtz
Nu, dat van die eigenwaarden wist ik inderdaad maar ik zie niet in hoe het me verder kan helpen.
Ik heb hier dan
\(f^4(x)=\lambda^4 x \)
\(f^3(x)=\lambda^3 x \)
\(4f^2(x)=4\lambda^2 x \)
\(3f(x)=3\lambda x \)
\(1_{v}(x)=x \)
Nu kan ik het vorige herschrijven als,\(\lambda^4 x - \lambda^3 x -4\lambda^2 x+3\lambda x+x\)
Hoe ik nu verder moet is echter een raadsel :eusa_whistle: , m'n excuses grtz
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire operatoren
Dit is dus het beeld onder jouw nieuwe operator die ik even T zal noemen.Shadeh schreef:Nu kan ik het vorige herschrijven als,
\(\lambda^4 x - \lambda^3 x -4\lambda^2 x+3\lambda x+x\)
Haal x buiten, dus schrijf het als T(x) = kx; wat lees je hier dan als k af?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 234
Re: Lineaire operatoren
Ok, dus
bv:
Alvast bedankt !
grtz
\(T(x)=x\underline{(\lambda^4-\lambda^3-4\lambda^2+3\lambda +1)}\)
Nu blijkt uit het gestelde dat \( f \)
eigenwaarden -2,0,2,2 had. Kan ik nu \(\lambda\)
gelijkstellen aan -2,0,2,2 in het onderlijnde zodat ik eigenwaarden voor \( T \)
krijg?bv:
\(2^4-2^3-4*2^2+3*2+1=-1\)
Waaruit dan 1 van de eigenwaarden van T(x) -1 is?Alvast bedankt !
grtz
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire operatoren
Ik heb het niet nagerekend, maar het idee klopt ja. Zie je ook waarom? Je vindt dat dezelfde eigenvector x (eerst van f, met eigenwaarde λ) nog steeds een eigenvector is (want je kan het precies in de vorm T(x) = kx schrijven); maar met eigenwaarde k in plaats van λ; k zoals hierboven onderlijnd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 234
Re: Lineaire operatoren
Inderdaad, die T(x) liet m'n euro vallen :eusa_whistle: .
Bedankt voor de hulp TD!
grtz
Bedankt voor de hulp TD!
grtz
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire operatoren
Graag gedaan :eusa_whistle:
Je ziet, dit is meer een "denkoefening" (wat ís een eigenwaarde, wat betekent het?) dan een "rekenoefening": hier met matrices gaan werken (om te rekenen dan, bedoel ik) is hopeloos.
Je ziet, dit is meer een "denkoefening" (wat ís een eigenwaarde, wat betekent het?) dan een "rekenoefening": hier met matrices gaan werken (om te rekenen dan, bedoel ik) is hopeloos.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 234
Re: Lineaire operatoren
Omtrent de eigenwaarde, een eigenwaarde is de scalair waarmee de eigenvector x wordt mee vermenigvuldigd(onder een bepaalde afbeelding).
Om toch even terug naar de oefening te gaan. Ik had die operator f in matrixvorm uitgeschreven:
-2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
met dus op de eigenwaarden. Nadien berekende ik f^4, f^3,..... berekende ik deze matrix en kwam ik dus terug een diagonaal matrix uit. Deze is:
3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1
Wat inderdaad hetzelfde is of die andere methode. Zoals je zei is dit dan meer een rekenoefening dan een denkoefening.
grtz
Om toch even terug naar de oefening te gaan. Ik had die operator f in matrixvorm uitgeschreven:
-2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
met dus op de eigenwaarden. Nadien berekende ik f^4, f^3,..... berekende ik deze matrix en kwam ik dus terug een diagonaal matrix uit. Deze is:
3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1
Wat inderdaad hetzelfde is of die andere methode. Zoals je zei is dit dan meer een rekenoefening dan een denkoefening.
grtz
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire operatoren
Oké. Terzijde, maar misschien nuttig voor het inzicht: let natuurlijk wel op, het is niet omdat f die eigenwaarden heeft, dat de matrixvoorstelling ook precies die diagonaalmatrix is. De matrix hangt af van de gekozen basis en het is enkel die diagonaalmatrix, als je de eigenvectoren als basis gebruikt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire operatoren
Oké, graag gedaan en succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
