Supremum en infimum

Bellerophr0n

Hallo,

ik vroeg me af of er een microcursus van Supremum en Infimum was, ik heb deze niet gevonden onder de microcursussen. Zou iemand me daar meer uitleg over kunnen geven indien er geen microcursus is.

Alvast bedankt

TD

Over dat specifieke onderwerp hebben we geen microcursus, maar vertel eens wat je weet en wat je niet begrijpt.

Prot

Ik heb wel een vraag i.v.m Supremum en Infimum.

V= (x element van R / x² :eusa_whistle: 1 )

Als ik de intervallen schrijf: )- ](*,) , -1) en (+ 1, + ](*,) (

Is deze redenering juist?

In deze opgave heb je geen infimum en supremum, komt omdat de ondergrenzen van + 1 de bovengrenzen van -1 zijn en de bovengrenzen van -1 de ondergrenzen van + 1 zijn, dus er eigenlijk geen onder -en bovengrenzen bestaan voor +1 en -1 .Voor ](*,) is het logisch dat er geen boven of ondergrenzen zijn omdat deze oneindig is en er dus geen verdere grenzen bestaan.

TD

Prot schreef:V= (x element van R / x² :eusa_whistle: 1 )

Als ik de intervallen schrijf: )- ](*,) , -1) en (+ 1, + ](*,) (

Is deze redenering juist?

Je moet een beetje opletten met je notatie want die verchilt nogal van wat gangbaar is (accolades voor verzamelingen, een rond haakje wordt voor een open interval gebruikt, ...).

In deze opgave heb je geen infimum en supremum, komt omdat de ondergrenzen van + 1 de bovengrenzen van -1 zijn en de bovengrenzen van -1 de ondergrenzen van + 1 zijn, dus er eigenlijk geen onder -en bovengrenzen bestaan voor +1 en -1 .Voor ](*,) is het logisch dat er geen boven of ondergrenzen zijn omdat deze oneindig is en er dus geen verdere grenzen bestaan.

Het zijn niet getallen (of elementen) zoals -1 of 1, of "oneindig" die een bovengrens (ondergrens) of een supremum (infimum) hebben, maar verzamelingen. Jouw verzameling V is niet naar boven begrensd en ook niet naar onder begrensd.

Bellerophr0n

Ik begrijp het principe eigenlijk niet. Want het zijn basis oefeningen.

Oef.

{x ∈ R | x² ≤ 5}

{x ∈ R | x² < 5}

{x ∈ R+ | x² < 5}

{x ∈ R | x² > 5}

{x ∈ R- | x² > 5}

(Dit stuk leer ik gewoon zelfstandig uit het boek Studiepakket Analyse I.)

TD

Begrijp je de begrippen "ondergrens" en "bovengrens" van een verzameling?

Snap je de definitie van supremum (kleinste bovengrens) en infimum (grootste ondergrens)?

Die moet je goed bestuderen (eventueel met voorbeelden), zie eventueel ook hier.

Prot

Bellerophr0n schreef:Ik begrijp het principe eigenlijk niet. Want het zijn basis oefeningen.

Oef.

{x ∈ R | x² ≤ 5}

{x ∈ R | x² < 5}

{x ∈ R+ | x² < 5}

{x ∈ R | x² > 5}

{x ∈ R- | x² > 5}

(Dit stuk leer ik gewoon zelfstandig uit het boek Studiepakket Analyse I.)

Ik vind het altijd handig om deze verzamelingen als intervallen te schrijven zoals bijvoorbeeld de eerste die je kan schrijven als:

[-[wortel]5, [wortel]5]

Hiermee kan je verder gaan door de eigenschappen zoals hier kan je al direct zeggen dat het minimum - [wortel]5 is en het Maximum [wortel]5 en de eigenschap zegt dat het minimum ook het infinum is en het maximum het suprenum.

Zo kan je dat voor alle oefeningen doen, ook is het handig om te kijken of de verzameling onder of bovenbegrensd is. Dan is er zeker een suprenum (bovenbegrensd) en infinum (onderbegrens) aanwezig.

Zoals de tweede oefeningen

Prot

TD schreef:Je moet een beetje opletten met je notatie want die verchilt nogal van wat gangbaar is (accolades voor verzamelingen, een rond haakje wordt voor een open interval gebruikt, ...).

Ja, sorry, ik wist het wel, maar ik weet niet goed hoe ik het moet doen met de computer.

Het zijn niet getallen (of elementen) zoals -1 of 1, of "oneindig" die een bovengrens (ondergrens) of een supremum (infimum) hebben, maar verzamelingen. Jouw verzameling V is niet naar boven begrensd en ook niet naar onder begrensd.

Bedankt voor het antwoord, het zijn inderdaad de verzamelingen. Maar is mijn redenering dan juist dat de verzameling van ]- :eusa_whistle: , - 1] naar boven begrensd is en de verzameling [1, + ](*,) [ naar onder begrensd is waardoor er dus geen supremum en infimum is?

Bellerophr0n

{x ∈ R | x² ≤ 5} Sup √5 en -√5, inf ??

Begrijp ik het goed? Of zit ik mis?

TD

Bedankt voor het antwoord, het zijn inderdaad de verzamelingen. Maar is mijn redenering dan juist dat de verzameling van ]- :eusa_whistle: , - 1] naar boven begrensd is en de verzameling [1, + ](*,) [ naar onder begrensd is

Dit is juist, maar het was niet gevraagd voor deze verzamelingen maar voor V en V is de unie van deze twee.

V is niet naar boven begrensd, dus geen supremum, en ook niet naar beneden begrensd, dus geen infimum.

TD

Bellerophr0n schreef:{x ∈ R | x² ≤ 5} Sup √5 en -√5, inf ??

Begrijp ik het goed? Of zit ik mis?

Dat is juist, want deze verzameling heeft een maximum en een minimum en in dat geval vallen deze samen met respectievelijk supremum en infimum.

Bellerophr0n

TD schreef:Dit is juist, maar het was niet gevraagd voor deze verzamelingen maar voor V en V is de unie van deze twee.

V is niet naar boven begrensd, dus geen supremum, en ook niet naar beneden begrensd, dus geen infimum.

Zou me misschien kunnen uitleggen hoe jij daaraan bent gekomen? En misschien enkele moeilijkere oefeningen met de oplossing (verborgen als kan) geven?

Alvast bedankt voor de hulp.

TD

Zou me misschien kunnen uitleggen hoe jij daaraan bent gekomen?

Je quote mijn reactie over de opgave van Prot, bedoel je die oplossing?

Zie je in dat zijn verzameling V niet begrensd is? Niet naar boven, niet naar onder.

En misschien enkele moeilijkere oefeningen met de oplossing (verborgen als kan) geven?

Heb je nu al zelf de andere opgaven kunnen oplossen, die je hier plaatste?

Bellerophr0n

Ik heb de rest van de opdrachten opgelost en ze bleken juist te zijn (antwoorden staan achteraan het boek). Maar ik begrijp niet echt hoe dat ik eraan ben gekomen. Ik heb telkens de bovengrenzen genomen en dat dan proberen gelijk te stellen met de in de opdracht opgegeven getal (bv. bij de eerste opdracht = 5)

Ik heb het gevoel dat dit niet de juiste methode is maar het werkt nu omdat het simpele oefeningen zijn.

Zou je me daarom eens kunnen uitleggen hoe dat jij eraan bent gekomen. Zowel voor opgave van Prot als mijn eerste opgave.

Ook begrijp ik het al dan niet begrensd zijn van een verzameling. Wat betekent begrensd? (staat niet echt uitgelegd in het boek)

TD

Ook begrijp ik het al dan niet begrensd zijn van een verzameling. Wat betekent begrensd? (staat niet echt uitgelegd in het boek)

Dat geloof ik niet echt... Een boek waarin supremum en infimum staan, maar geen definitie van boven- en ondergrens?

Je zei dat je Studiepakket Analyse I gebruikt, van Jennekens? Dan zie ik het toch staan... Lees dat eerst eens grondig na, er staan ook voorbeelden. Stel dan concretere vragen: neem een opgave, toon waar je vast zit.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Supremum en infimum

Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum

Re: Supremum en infimum