Springen naar inhoud

Projecteren op vectorruimte


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 januari 2010 - 19:16

Beschouw de Euclidische ruimte C[−pi,pi]. Zet het stel vectoren {1,cos x, sin x}
om in een orthogonaal stel, met behulp van het Gram-Schmidt procedť.
Zoek de orthogonale projectie van de functie y=x op de vectorruimte voortgebracht door {1,cos x, sin x},
en bepaal de afstand tot deze vectorruimte.

Dat orthogonaliseren, dat lukt me wel.

Die projectie, dat zou moeten lukken, maar toch lukt het niet ](*,)
:eusa_whistle: <x,fi>fi Als die f(i) de basisvectoren zijn van de vectorruimte waarop we projecteren en x de te projecteren eenheid.

Om te beginnen: hoe pas ik hier een inwendig product toe? Gewoon het standaard inwendig product xi yi ? Of de continue versie met de integraal?


Dus bijvoorbeeld <x,1>=x
<x,cos(x)>=xcos(x)
etc?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2010 - 19:31

het grammschmidt algoritme is onafhankelijk van een inwendig product, net zoals in andere oefeningen moet er eerst opgegeven worden met welk inwendig product je werkt. Als er niets gezegd wordt, lijkt het standaard product logisch

Dus bijvoorbeeld <x,1>=x
<x,cos(x)>=xcos(x)
etc?

wat bedoel je hier? Zoals ik het lees is een vector gelijk aan een scalair. Reden genoeg om nul te hebben op je oefening!

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 januari 2010 - 19:58

:eusa_whistle:

Je hebt gelijk, maar hoe moet het dan wel? Er zijn geen vectoren gegeven in de opgaven (geen pijltjes) Hoe moet ik dan een inwendig product uitrekenen, dat nota bene gedefinieerd is voor vectoren? Vandaar mijn voorstel om de integraal te gebruiken, omdat dat geen vectoren behoeft.

Wat denkt u?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2010 - 00:16

Er zijn geen vectoren gegeven in de opgaven (geen pijltjes) Hoe moet ik dan een inwendig product uitrekenen, dat nota bene gedefinieerd is voor vectoren? Vandaar mijn voorstel om de integraal te gebruiken, omdat dat geen vectoren behoeft.


Hoezo? 1,sinx en cosx zijn toch gewoon vectoren uit de vectorruimte C[-pi,pi]?

En hoogstwaarschijnlijk is het standaard inproduct hierin gedefinieerd als: <f(x),g(x)>=LaTeX

Je kan ook meteen zien dat <x,cos(x)>=xcos(x) onmogelijk juist kan zijn: een inproduct heeft per definitie een scalair als uitkomst.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2010 - 00:46

Ik deel in uw mening, maar ik ben in de war door het feit dat het gaat om elementen uit een vectorruimte, en dat er toch geen vectorstrepen staan.

Ik veronderstel ook dat de integraal gebruikt zal moeten worden, de continue versie van het standaard inwendig product dus.

Bedankt voor je reactie!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2010 - 00:52

Ik deel in uw mening, maar ik ben in de war door het feit dat het gaat om elementen uit een vectorruimte, en dat er toch geen vectorstrepen staan.

Vectorruimten zijn veel algemener dan alleen de oude "meetkundige vectoren", in dit geval zijn de elementen van de vectorruimte (die je nog steeds "vectoren" kan noemen), functies.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2010 - 00:54

Dus voor de projectie maak ik gebruik van de integraal, ook al is dat niet expliciet vermeld in de opgave?

Dank!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2010 - 00:58

Het is pas een Euclidische ruimte als er een inproduct gegeven is. Als dat niet expliciet gegeven is, ga je best uit van het gangbare inwendig product voor zo'n vectorruimte van continue functies en dat is inderdaad die integraal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2010 - 01:03

Dus voor de projectie maak ik gebruik van de integraal, ook al is dat niet expliciet vermeld in de opgave?

Dank!

®
Eigenlijk is de oefening een beetje incompleet: Om dergelijke zaken te berekenen heb je altijd een inproduct nodig.
En een inproduct voor een vectorruimte is niet uniek, bv:
<f(x),g(x)>=LaTeX
met (willekeurige) r(x)>0 voor alle x.
Dit zijn allemaal inproducten voor C[a,b]

Standaard is r(x)=1
Als het niet vermeld staat kan je best het standaard inproduct nemen (staat dat nergens vermeld in de cursus dat dit het standaard inproduct is?).
En verder is het zeker niet fout als je een ander inproduct neemt (zolang je vermeld welk je gebruilt, en nagaan of aan alle voorwaarden van een inproduct voldaan zijn)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#10

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2010 - 01:03

Beschouw de Euclidische ruimte C[−pi,pi].


Er wordt idd wel gegeven dat het om een euclidische ruimte gaat, maar er is geen expliciet inproduct gedefinieerd.
Het punt is gewoon dat ik keer op keer een andere oplossing kreeg dan de correctiesleutel gaf, vandaar dat ik het nog eens wou vragen...
Warschijnlijk een rekenfout bij de partiŽle integratie ofzo...

LaTeX
dus voor de eerste coŽfficiŽnt (van -pi tot pi geÔntegreerd) Klopt dit?

@ZVdP: met r(x) de gewichtsfunctie bedoelt u?

Veranderd door In fysics I trust, 09 januari 2010 - 01:09

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures