Springen naar inhoud

Lagrangefunctie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

upsilon

    upsilon


  • >25 berichten
  • 93 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2010 - 10:43

Vind 3 positieve reŽle getallen x,y,z met x +y + z = 300, zodat de som van hun kwadraten minimaal is.

(ik zou de deze vraag ook met substitutie kunnen oplossen maar ik wou het eens proberen met lagrangemultiplicatoren)

Dus:
Stel f: R≥ -> R : (x,y,z) -> x≤ + y≤ + z≤, g : R≥ ->R : (x,y,z) -> x + y + z - 300

de lagrangefunctie:

L : R^4 -> R : (x,y,z,λ) -> x≤ + y≤ + z≤ + λ(x+y+z-300)

dan geldt vanwege de stelling van lagrange dat grad(f) + λg(x) = 0 in het punt waar f(x,y,z) minimaal/max is ondernevenvoorwaarde g(x,y,z) = 0 .
Als ik bijgevolg kritieke punten zoek, dan heb ik al meer kans om een juist antwoord te hebben.

Ik weet bijvoorbeeld dat (100,100,100) een kritiek punt is van L, maar hoe weet ik nu zeker dat dat ook het minimum van f is onder nevenvoorwaarde g(x,y,z) =0 ?
BABBAGE

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2010 - 17:58

Het is niet altijd evident om formeel te tonen dat je bij dit soort optimalisatieproblemen met nevenvoorwaarden te maken hebt met een minimum of een maximum. Vaak kan het wel door even te redeneren: door de nevenvoorwaarde zie je dat je binnen een gesloten en begrensde verzameling werkt en daarvoor weet je dat een continue functie een minimum en een maximum bereikt. Je kan bijvoorbeeld nagaan dat 3.100≤ kleiner is dan een ander punt dat aan je nevenvoorwaarden voldoet (bv. (x,y,z) = (300,0,0)).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

upsilon

    upsilon


  • >25 berichten
  • 93 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2010 - 20:53

Het is niet altijd evident om formeel te tonen dat je bij dit soort optimalisatieproblemen met nevenvoorwaarden te maken hebt met een minimum of een maximum. Vaak kan het wel door even te redeneren: door de nevenvoorwaarde zie je dat je binnen een gesloten en begrensde verzameling werkt en daarvoor weet je dat een continue functie een minimum en een maximum bereikt. Je kan bijvoorbeeld nagaan dat 3.100≤ kleiner is dan een ander punt dat aan je nevenvoorwaarden voldoet (bv. (x,y,z) = (300,0,0)).

en als er zoals nu maar ťťn is dan ben ik idd zeker.

bedankt :eusa_whistle:
BABBAGE

#4

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2010 - 21:01

Strikt gesproken moet je de functie in alle randpunten evalueren, en aantonen dat de waarde daar groter is dan in het gevonden kritieke punt.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2010 - 13:50

Op de rand vind je in dit geval de maxima, maar die moet je inderdaad apart nagaan.
Formeel tonen welk extremum het is, kan ook aan de hand van de tweede differentiaal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures