Lagrangefunctie

upsilon

Vind 3 positieve reële getallen x,y,z met x +y + z = 300, zodat de som van hun kwadraten minimaal is.

(ik zou de deze vraag ook met substitutie kunnen oplossen maar ik wou het eens proberen met lagrangemultiplicatoren)

Dus:

Stel f: R³ -> R : (x,y,z) -> x² + y² + z², g : R³ ->R : (x,y,z) -> x + y + z - 300

de lagrangefunctie:

L : R^4 -> R : (x,y,z,λ) -> x² + y² + z² + λ(x+y+z-300)

dan geldt vanwege de stelling van lagrange dat grad(f) + λg(x) = 0 in het punt waar f(x,y,z) minimaal/max is ondernevenvoorwaarde g(x,y,z) = 0 .

Als ik bijgevolg kritieke punten zoek, dan heb ik al meer kans om een juist antwoord te hebben.

Ik weet bijvoorbeeld dat (100,100,100) een kritiek punt is van L, maar hoe weet ik nu zeker dat dat ook het minimum van f is onder nevenvoorwaarde g(x,y,z) =0 ?

TD

Het is niet altijd evident om formeel te tonen dat je bij dit soort optimalisatieproblemen met nevenvoorwaarden te maken hebt met een minimum of een maximum. Vaak kan het wel door even te redeneren: door de nevenvoorwaarde zie je dat je binnen een gesloten en begrensde verzameling werkt en daarvoor weet je dat een continue functie een minimum en een maximum bereikt. Je kan bijvoorbeeld nagaan dat 3.100² kleiner is dan een ander punt dat aan je nevenvoorwaarden voldoet (bv. (x,y,z) = (300,0,0)).

upsilon

Het is niet altijd evident om formeel te tonen dat je bij dit soort optimalisatieproblemen met nevenvoorwaarden te maken hebt met een minimum of een maximum. Vaak kan het wel door even te redeneren: door de nevenvoorwaarde zie je dat je binnen een gesloten en begrensde verzameling werkt en daarvoor weet je dat een continue functie een minimum en een maximum bereikt. Je kan bijvoorbeeld nagaan dat 3.100² kleiner is dan een ander punt dat aan je nevenvoorwaarden voldoet (bv. (x,y,z) = (300,0,0)).

en als er zoals nu maar één is dan ben ik idd zeker.

bedankt :eusa_whistle:

eendavid

Strikt gesproken moet je de functie in alle randpunten evalueren, en aantonen dat de waarde daar groter is dan in het gevonden kritieke punt.

TD

Op de rand vind je in dit geval de maxima, maar die moet je inderdaad apart nagaan.

Formeel tonen welk extremum het is, kan ook aan de hand van de tweede differentiaal.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Lagrangefunctie

Lagrangefunctie

Re: Lagrangefunctie

Re: Lagrangefunctie

Re: Lagrangefunctie

Re: Lagrangefunctie